Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
тем, которые были обнаружены для сохраняющих площадь отображений. (Эта
бифуркация является аналогом для отображений бифуркации Хопфа
коразмерности два для векторных полей, обсуждавшейся в параграфе 7.1).
Третья область исследований, в которой промышленность разработала нечто
подобное функциям Мельникова, это бифуркации "типа Шильникова" для систем
с симметриями и без них. См. книгу Спарроу [1982] о уравнениях Лоренца,
Трессера [1983, 1984а,Ь], Глендиннинга [1985], Глендиннинга и Трессера
[1985] и Глендиннинга и Спарроу [1983, 1985]. В частности, обращаем
внимание на бифуркации "склеивания", изучавшиеся Коулетом и др. [1983] и
Гамбаудо и др. [1984, 1985], и появление последовательностей Фаррея в их
описании. Также мы специально обращаем ваше внимание на современные
работы российских ученых по Лоренцовым и подобным системам, см.
Афраймович и др. [1983] и ссылки в ней, а также пример, относящийся к
продолжению гомоклинических бифуркаций в Белых [1985].
520
Послесловие, добавленное при пятом издании
Глава 7
В дополнение к работе по бифуркациям коразмерности два с чисто мнимыми
собственными значениями, которую мы включили в переработанную версию
параграфов 7.4 и 7.5, отметим, что были выполнены многочисленные
исследования многократных бифуркаций и деформированных вырожденных
сингулярностей, особенно связанных с частными случаями положения
равновесия и периодическими решениями. Как показывает анализ в параграфах
7.4 и 7.5, исследование деформаций вырожденных сингулярностей в векторных
полях размерности ^ 3 затруднено из-за проблемами, связанных с
"глобальными" гомоклиническими явлениями. Однако, в анализе, игнорирующем
эти проблемы, можно продвинуться довольно далеко. В трудах Летней
исследовательской конференции Американского математического общества 1985
года, посвященной многопараметрической теории бифуркаций, содержится
хороший обзор современных работ по этой теме.
Послесловие, добавленное при пятом издании
Практически невозможно перечислить даже наиболее выдающиеся открытия,
полученные в теории динамических систем за последние десять лет.
Упомянутые выше сотни работ превратились в десятки тысяч, также появилось
более пятидесяти учебников, монографий, трудов конференций, курсов лекций
и сборников "классических" статей. Исследование хаоса стало популярным
явлением и, возможно, эта популярность уже прошла, но методы теории
динамических систем по-прежнему проникают практически во все области
прикладных исследований. Здесь мы отметим лишь несколько недавно вышедших
книг, в которых содержатся подробные математические выкладки, пропущенные
в этой книге, содержится описания альтернативных или продолженных
исследований и приложений или предлагаются новые области для приложений.
Подробное изложение математических основ, в том числе доказательства
основных результатов, опущенные в нашей книге можно найти в книге Михаэля
Шуба "Глобальная устойчивость динамических систем" (издательство
Шпрингер, 1987 - дополненный перевод книги Шуб [1978]), в "Эргодической
теории и дифференцируемой динамике" Рикардо Манэ, в "Динамических
системах" Кларка Робинсона (CRC Press, 1995) и во "Введении в современную
теорию динамических систем" Бориса Хассельблатта и Анатолия Катока
(Cambridge University Press, 1995). Следует отметить добавление к
литературе по одномерным отображениям книги Велингтона де Мело и
Себастьяна ван Стрина "Одномерная динамика" (издательство Шпрингер,
1993). Более подробный и современный анализ локальных и
Послесловие, добавленное при пятом издании
521
глобальных бифуркаций содержится в "Элементах прикладной теории
бифуркаций" Юрия Кузнецова (издательство Шпрингер, 1995), более ранняя
книга Стивена Виггинса "Глобальные бифуркации и хаос" (издательство
Шпрингер, 1988) также содержит множество подробностей о гомоклинических
бифуркациях в потоках размерностей п > 3. Многотомная серия "Динамические
системы" Российской энциклопедии математических наук (издательство
Шпрингер, 1988, главный редактор Р. В. Гамкрелидзе) является прекрасным
общим обзором и содержит множество ссылок на близкие области исследований
и на литературу, которая, возможно, менее известна на Западе.
"Методы возмущений, теория бифуркаций и компьютерная алгебра" Рихарда
Ранда и Дитера Армбрустера (издательство Шпрингер, 1987) служит
дополнением к раннему изданию (Ранд [1984]) при описании символических
вычислений центрального многообразия, нормальной формы и других
коэффициентов бифуркации и устойчивости.
Поскольку работа Руэля и Такенса [1971] о турбулентности имела такое
сильное влияние на развитие прикладной теории динамических систем, мы не
можем не упомянуть недавнюю попытку, с которой связан один из нас,
приблизить эту область к "традиционным" исследованиям турбулентности.
"Турбулентность, когерентные системы и симметрия" Холмса, Джона J1. Лимли
и Гэла Беркуза (Cambridge University Press, 1996) описывает как для
некоторых открытых потоков имеющих заданные свойства можно построить
