Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
Несмотря на то, что устойчивые гиперболические аттракторы трудно
обнаружить в физических примерах, они служат прототипом и проводником в
размышлениях о динамике других "странных аттракторов". В данном разделе
дается обзор некоторых аспектов теории гиперболических аттракторов и
объясняется, почему не следует ожидать наличия гиперболических странных
аттракторов у преобразования Хенона плоскости, отображения
подскакивающего мяча и осциллятора Дуффинга с внешним возбуждением.
Теорию структурной устойчивости обычно излагают в терминах
диффеоморфизмов контактных многообразий. Мы будем полагать, что все
системы, с которыми мы будем работать, определены на компактном множестве
D в R(tm) с гладкой границей и f(D) С int D. Для таких систем "компактная"
теория справедлива.
Проблема распознавания структурно устойчивых аттракторов была решена лишь
в случае принятия очень сильного определения структурной устойчивости.
Обзор данного вопроса содержится в Robbin [1972]. Если / - некоторый
диффеоморфизм, то можно построить более общий тип возмущений, нежели
фиксированная добавка к генератору /, допуская различные возмущения при
каждом применении /. Более конкретно, мы можем изучать зависящие от
времени динамические процессы, получаемые при выборе набора возмущений i
е Z для /, и формировать процесс т = = {/г}"_до, который переводит х за
время га в /" о ... о fi(x) при п > О и в fzl о ... о fzl(x) для п < 0.
Здесь т можно рассматривать как зависящее от времени возмущение
отображения /. Franks [1974] определил / как устойчивое при зависящих от
времени возмущениях, если при любом
1 И отечественной литературе обычно используют термин "грубые"
аттракторы. - Прим. ред.
5.5. Структурно устойчивые аттракторы
325
выборе малых зависящих от времени возмущений т существует гомеоморфизм h
такой, что h переводит траектории отображения / в траектории отображения
т.
Преимущество этого сильного определения структурной устойчивости состоит
в том, что оно позволяет легко доказать, что устойчивый при зависящих от
времени возмущениях аттрактор имеет гиперболическую структуру. Этот
результат тесно связан с идеями затенения и псевдоорбит, введенными в
разделе 5.3. В частности, непосредственно видно, что любая псевдоорбита
некоторой динамической системы является траекторией, подверженной
зависящим от времени возмущениям. Следовательно, устойчивый при зависящих
от времени возмущениях диффеоморфизм обладает свойством затенения. Как мы
видели ранее при построении разбиений Маркова, это равносильно введению
на неразложимом инвариантном множестве Л прямоугольных канонических
координат, ассоциированных с некоторой гиперболической структурой.
Обратная теорема об устойчивости при зависящих от времени возмущениях
гиперболического аттрактора Л следует из предложения 5.3.3, согласно
которому псевдоорбиты Л обладают свойством затенения.
Вопрос о том, следует ли из структурной устойчивости устойчивость при
зависящих от времени возмущениях, до сих пор открыт. Однако, предполагая,
что это действительно так, мы можем в оставшейся части данного раздела
сфокусироваться на гиперболических аттракторах. Эти аттракторы обладают
разбиениями Маркова, которые предоставляют для них удобное символическое
описание и приводят к строгим выводам о топологических аспектах их
динамики, таким как существование счетного числа долгопериодических
орбит, а также существование плотных орбит. Гиперболическая структура
может также быть использована для лучшего понимания аттракторов.
Топология гиперболических инвариантных множеств явилась в последние
несколько лет предметом быстро растущего интереса, и читатель может найти
обширный обзор в работе Franks [1982]. Здесь мы ограничим наше внимание
трехмерными потоками и двумерными диффеоморфизмами, тем самым минимизируя
топологические технические детали и сохраняя прямую связь с нашими
примерами. Для дискретных систем эти аттракторы изучались в самом начале
реализации программы Смейла Williams [1967]. Его работа по теории
одномерных аттракторов послужила прототипом работ по топологии систем с
аксиомой А. Она дает нам геометрическую картину необходимых условий,
которым должен удовлетворять трехмерный поток, для того чтобы иметь
гиперболический аттрактор.
Если двумерный диффеоморфизм / обладает гиперболическим аттрактором А, то
гиперболическая структура последнего включает одномерные устойчивое и
неустойчивое многообразия. Трансверсальные гомоклиниче-
326
Глава 5
ские точки существуют лишь для тех периодических орбит, для которых и
устойчивое, и неустойчивое многообразия имеют ненулевые размерности.
Кроме того, неустойчивые многообразия точек А должны целиком лежать в А,
поскольку гиперболические аттракторы обладают окрестностями, состоящими
из точек, приближающихся к аттрактору. Таким образом, для диффеоморфизма
/: R2 -> R2 возможны лишь гиперболические аттракторы с топологической
размерностью1 единица, являющиеся объединением кривых, образующих
