Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
окрестности U и покажите, что их поведение мажорируется линеаризованным
отображением 7?/(р) (см. Palis [1969], Newhouse [1980].)
Заметим в заключение, что если существует трансверсальная гомокли-
ническая точка q ? W8{p) П Wu(p), то в качестве Д из теоремы 5.2.10 можно
выбрать некоторый м-диск из Wu(jp). В этом случае из лямбда-леммы
следует, что множество Wu{p) скапливается само к себе, откуда в случае s
= и = 1 (п = 2) следует появление гомоклинического сплетения, с которым
мы уже встречались (см. рисунок 5.2.7). Отметим, что для появления такой
структуры не требуется, чтобы отображение сохраняло площадь (или объем).
5.3. Разбиения Маркова и символическая динамика
Теорема об устойчивом многообразии (теорема 5.2.8) и ее следствие служат
основой для обеспечения гиперболических инвариантных множеств
символическим представлением, удобным для описания их динамики. На
протяжении данного раздела мы будем считать Л компактным гиперболическим
максимальным инвариантным множеством для некоторого Сг-диффеоморфизма /:
R" -> R". Кроме того, мы фиксируем е и 5 такими же, как в теореме об
устойчивом многообразии и ее следствии: W8{x) и W"(y)
310
Глава 5
Рис. 5.2.7. Лямбда-лемма влечет гомоклинические сплетения.
являются вложенными дисками, и из неравенства d(x, у) < 5 следует, что
W*(x) П W"(y) состоит ровно из одной точки.
Предложение 5.3.1. Если А неразложимо и максимально, а х,у Е А, причем
d(x, у) < S, то W*{x) П VK"(y) Е А (и W*{x) П VK"(y) Е А).
Доказательство. Пусть z е W*(x) П W"(y) и р > 0. Выберем П1,П2 > 0 таким
образом, что d(fni(z), fni(x)) < р/2 и d(f~n2(z), ГП2(у)) < р/2. Из
факта, что fni(x), f~n2{y)) С Л, а Л неразложимо, следует, что существует
у/2-возвратная цепочка {то, . . ., и к] из fni(x) в f~n2(y) (см.
определение 5.3.2). Отсюда следует, что {z, . .., fni(z), и-2, • • •,
Mfc-i, rn2{z), ..., z} является у-возвратной цепочкой для z, т. е. z
такая же максимальная неразложимая часть цепно-возвратного множества, как
хну. ¦
УПРАЖНЕНИЕ 5.3.1. Проверьте, что данное предложение выполняется для
инвариантного множества Л в случае подковы.
Данное предложение представляет собой теорему существования, из которой
следует, что асимптотические поведения точки в прямом и обратном времени
обладают, в значительной степени, статистической независимостью. Это
понятие будет использовано при определении разбиений Маркова. Для
построения разбиений Маркова удобно считать, что устойчивое и
неустойчивое многообразия устанавливают "координатную сетку" на Л,
приспособленную для описания динамики. В последующей части данного
раздела мы будем полагать, что Л неразложимо и максимально.
Определение 5.3.1. Прямоугольником для А называется такое замкнутое
подмножество R С Л, что для любых ж, у Е R множество W*(a;)nW"(y) состоит
из единственной точки, причем эта точка лежит в R.
5.3. Разбиения Маркова и символическая динамика
311
УПРАЖНЕНИЕ 5.3.2. Для примера подковы с е = 1 покажите, что
прямоугольниками являются пересечения множества Л с прямоугольниками,
стороны которых горизонтальны и вертикальны.
УПРАЖНЕНИЕ 5.3.3. Покажите, что если х ? Л, то существуют значения 6, е
такие, что множество R - {у \ существуют w, z такие, что у - W^{z) П
W"(w), w ? ЗУ/, г ? является прямоугольником (см. рисунок 5.2.6).
Из этого упражнения следует, что R можно отождествить с декартовым
произведением W* (х) П R и VK" П R.
УПРАЖНЕНИЕ 5.3.4. Покажите, что пересечение двух прямоугольников является
прямоугольником.
R2
Д>
Рис. 5.3.1. Для подковы f(Wu(x, Ri)) D Wu(f(x),R2) и f(W"(x, Ri)) С С
Ws(f(x), R2)).
Заметим, что определенные здесь прямоугольники не являются
прямоугольниками в обычном смысле, они могут быть несвязными множествами
(обычно канторовыми), получаемые пересечением "обычных" прямоугольников с
частями Л. Например, в случае подковы мы имеем два естественных кандидата
в прямоугольники R\ = Н\ П Л и И> = Н> П Л. Тем не менее, принято
изображать эти прямоугольники так, как будто они являются
прямоугольниками в обычном смысле, см. рисунок 5.3.1. Причина отказа от
использования обычных прямоугольников кроется в том, что хотя отображение
/ может быть определено на таких прямоугольниках, его степени могут не
обладать хорошим поведением вне точек множества Л. Например, при
построении подковы мы установили лишь действие / на S' и не можем
проследить орбиты точек после того, как они покинут S.
~W\f(x)R2) W\f(x),R2) ]
' /(*) Sf(W\x,R{))
W\x,R{)
V
X -f(W\x,R,)) i * 1 ' WXx,Rt)
312
Глава 5
Прямоугольники для Л будут кандидатами в "состояния", которые мы
используем при символическом описании Л. Они являются аналогом (и
обобщением) множеств Hi в примере подковы. Насколько это возможно, мы
разобьем Л на прямоугольники, так что произвольную точку множества Л
можно охарактеризовать символической последовательностью, отмечающей
прямоугольники, посещаемые ее траекторией. Нет оснований надеяться на
существование взаимно однозначного соответствия между Л и множеством всех
