Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
Легко видеть, что при возрастании у эти корни сходятся соответственно к
7г/2 и 37Г/2, при этом ширина Vi и V2 уменьшается. Например, решение
уравнений (5.2.9) показывает, что для 7 = бд значения координаты ф для
точек Vi и V2 лежат в интервалах (1,39, 2,13) и (4,48, 5,49)
соответственно. Используя обратное отображение /-1, получим для
соответствующих горизонтальных полосок границы ф + v = 1,39, 2,13 и 4,48,
5,49 (все координаты даны в радианах). Далее, мы имеем такое утверждение.
Лемма 5.2.6. Для а = 1 и достаточно больших 7 (5д достаточно) существуют
пучки секторов Su(p), S8(p), базирующихся в точках р € U (Нг П Vj),
центрированных по линиям ф = const и ф + v =
5.2. Инвариантные множества и типерболичность
305
= const соответственно и имеющих угловой разворот и/А, так что Df(Su(p))
С Su(p) и Df~1(Ss(p)) С Ss(p). Кроме того, Df(p) увеличивает вертикальные
расстояния, по крайней мере, в 5,5 раз, a Dfувеличивает горизонтальные
расстояния, по крайней мере, в 4,5 раза (см. рисунок 5.2.5).
г>0
г<0
а
Рис. 5.2.5. Сектора Su(p) и Ss(p): (a) Su(p); (b) Ss(p).
Замечание. Здесь линии ф + v называются "горизонтальными".
Доказательство. Линеаризуя отображение, имеем
Df
1 1
г 1 + г
ОГ
1 ± г - 1 -г 1
(5.2.10)
где г = 7sin(<^> + v) или, соответственно, ysin^. Из вышеприведенных
оценок следует, что при у ф 5тг мы имеем ф + v € (1,39, 2,13) U (4,48,
5,49) для р С Hi U Н2, и в таких же границах изменяется ф для р С V\ U
V2¦ Это показывает, что для точек р С и № П Vj) выполнены неравенства
i, 1 = 1,2
| sin(0 + г>)|, | sin<Д > 0,716 или lysin^ ± г>)|, lysin^l > 11,24.
Мы рассмотрим здесь лишь оценку для сектора Su, так как для Sv она
аналогична. Рассмотрим образ сектора Su, изображенного на рисунке 5.2.5,
под действием отображения Df. Пусть "углы" Su определяются точками
(±0,414, 1) (tg тг/8 и 0,414). Взяв г = 11,24, мы получим образы (1,414,
16,89) и (0,586, 7,587), (1,414, -14,893) и (0,586, -5,587). Поскольку
для точек р ? Hi П Vj имеем |г = I'y sin(0 ± г>)| > 11,24, а с
306
Глава 5
ростом | г образы данных секторов будут еще длиннее и тоньше, то нужные
оценки получены.
Расчеты "горизонтальных" секторов, ограниченных прямыми с углами наклона
-7г/8, -37г/8, несколько более громоздки, но вполне аналогичны. Наконец,
отметим, что при у > Ътт имеем |ysin(<)> + г>)|, |ysin<)>| > 11,24,
поэтому при всех у > 57Г наши оценки выполнены. ¦
Эти две леммы позволяют установить гипотезы Н1 и НЗ. При нашем выборе
секторов мы должны взять /г = tg 7г/8 ~ 0,414. Оценки для пучка секторов
показывают, что / отображает вертикальные полоски в вертикальные полоски
со сжатием, равным, по крайней мере, v = /т/(1 - р) ~ 0,706, а /_1
отображает горизонтальные полоски с тем же сжатием.
Вследствие теоремы 5.2.4 данные факты в сочетании с выполняющимся при а =
1 неравенством det(D/) = det(D/_1) = 1 < 1/2/г2 " 2,917 приводят к такому
результату:
Теорема 5.2.7. Для у ^ Ъ-к и а = 1 отображение (5.2.7) обладает
инвариантным гиперболическим канторовым множеством К. Отображение f,
суженное на К, гомеоморфно сдвигу последовательностей из двух символов.
Таким образом, мы доказали, что проблема подскакивающего мяча обладает
подковой при а = 1 и достаточно больших у. Более того, из структурной
устойчивости Л следует, что мы можем немного уменьшить а, не разрушая
подкову. С другой стороны, зафиксировав а < 1, мы можем повторить
вышеприведенные оценки для получения нижней границы значений у, при
которых существует подкова:
УПРАЖНЕНИЕ 5.2.9. Покажите, что для достаточно больших у и а = ^
отображение подскакивающего мяча /а,7 обладает гиперболической подковой.
Оцените у.
УПРАЖНЕНИЕ 5.2.10 (см. Devaney, Nitecki [1979]). Покажите, что
отображение Хенона (х,у) -"¦ (а + (Зу - ж2, х) имеет гиперболическую
подкову при а > (5 + + 2V5)(1+ 1,31)74 и d/0.
Хотя подковы и не являются аттракторами, их присутствие в дискретных
динамических системах имеет важные следствия для физически наблюдаемых
движений. (Если обсуждаемые отображения являются отображениями Пуанкаре
для потоков, то аналогичные наблюдения применимы к решениям
ассоциированных дифференциальных уравнений.) Мы уже познакомились в главе
2 с численными результатами, свидетельствующими о возможной
чувствительной зависимости решений дифференциальных уравнений и
отображений при наличии подков. Такую зависимость можно понять в терминах
структуры множеств ESK и !'Д из определения 5.2.6 (см. рисунок 5.2.2).
Для (линейной) подковы каждое из этих множеств является
5.2. Инвариантные множества и типерболичность
307
произведением интервала и кангорового множества. Отсюда следует, что если
ж лежит на некоторой орбите, асимптотической к какой-либо орбите 7i ? А,
то в любой окрестности х найдутся точки гу, орбиты которых асимптотически
стремятся к орбитам у.,- С Л, символические орбиты которых совершенно
отличны от 71 на достаточно отдаленных позициях. Кроме того, существуют
открытые множества орбит, стартующих вблизи х и покидающих в конце концов
