Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
имеют место аналоги лемм 5.2.1 и 5.2.2. Заметим, что равномерное
растяжение по горизонтали во всем кольце невозможно, в частности, в
областях R\ и И \ отображение - сжимающее в обоих направлениях.
Levi [1981] доказал, что sd содержит две притягивающие неподвижные точки,
соответствующие двум решениям периодов (2fc±l)T, обсуждавшимся в разделе
2.1. Кроме того, он показал, что si содержит также инвариантное
гиперболическое канторово множество Л вместе с его неустойчивым
многообразием И(tm) (Л) и что сужение К на Л сопряжено сдвигу на четырех
символах. Приведем кратко этот анализ.
Л является множеством точек, орбиты которых никогда не покидают |J Vi, т.
е.
Л= р| W|JV)). (5.3.2)
-оо<п<оо ч=1 '
]В смысле определения 5.2.5.
318
Глава 5
Очевидно, Л содержит стандартную подкову, так как пара полосок с
индексами 2 и 4 удовлетворяет соотношению F(Vi) = Hi, где Hi пересекает
Vi требуемым образом (вплоть до изменения "направления"). Тем не менее, Л
содержит бесконечно много других точек, так как мы можем построить
матрицу перехода А = А,:) , элемент которой .4 ( / равен единице, если
пересечение F{Vi) с Vj непусто, и нулю в противном случае:
А
'0 111' 0 111 10 0 0 0 111
(5.3.3)
При помощи матрицы А можно определить подпространство Ед пространства
всех бесконечных в обе стороны последовательностей из четырех символов Е
такое, что Аа.а.+1 = 1 для всех последовательностей {а*} ? Ед и г ? Z.
Тогда из предложения 5.3.4 следует, что F\ сопряжено подсдвигу конечного
типа с матрицей перехода А, поэтому существует взаимно однозначное
соответствие между орбитами Fa и всеми последовательностями, не
содержащими "запрещенных" пар 11, 21, 32, 33, 34 или 41. Заметим, что
этот подсдвиг содержит полный сдвиг на двух символах 2 и 4, так как пары
из этих символов не запрещены.
Рассмотрим далее множество точек в D, не лежащих в !HS(A). Очевидно,
Wioc(A) = (nf"n(U^))n7} (5-3-4)
п^О г
является канторовым множеством вертикальных отрезков, разделенных
прообразами
(П^_п(и^))п?> <5-3-5)
п^О г
четырех полосок П. Нетрудно также видеть, что любая точка, отображаемая в
(J R4, притягивается к одной из двух неподвижных точек, лежащих в R\
i
и /г|, так как
F(i?i), F(R3) С Ri
И
F(R2), F(Ra) с -йд. (5.3.6)
Поскольку множество Wu (Л) инвариантно, а локальные неустойчивые
многообразия W^(x) точек х ? Л с очевидностью содержатся в D, мы
имеем С1(Н(tm)(Л)) С sd} Для доказательства того, что sd =
С1(Н(tm)(Л))
Здесь С1 обозначает замыкание. - Прим. перев.
5.4. Странные аттракторы и постулат устойчивости
319
заметим, что любая точка из D лежит либо на VKS(A), либо на устойчивом
многообразии одного из двух стоков. В частности, D можно покрыть
открытыми множествами, каждое из которых содержит некоторую часть VKS(A),
так что из лямбда-леммы следует, что существуют образы этих множеств,
лежащие произвольно близко к точкам из Wu (А). Это показывает, что d С
С1(И^"(А)), т. е. d = C1(H(tm)(A)), что и утверждалось.
5.4. Странные аттракторы и постулат устойчивости
Доказанная выше теорема 5.3.5 предоставляет условия существования
гиперболических предельных множеств при весьма общих допущениях. Тем не
менее, она не поднимает вопроса о "странных аттракторах". Мы уже
встречались с этим понятием несколько раз, и подошло время обсудить его
подробно. Рассмотрим для конкретности уравнение Дуффинга для исследования
в плане существования странных аттракторов.
При численном интегрировании уравнения Дуффинга с периодическим
возбуждением обнаруживаются траектории, которые, очевидно, кажутся не
являющимися асимптотически периодическими. Более того, аналитические
методы главы 4 позволяют нам доказать существование в данной системе
трансверсальных гомоклинических точек и вывести отсюда наличие
гиперболических инвариантных множеств. Однако мы не знаем, стремится ли
расчетная траектория к найденному аналитически гиперболическому
инвариантному множеству. Действительно, гиперболическое инвариантное
множество, обнаруженное по теореме Смейла, не является притягивающим, и
множество точек, асимптотических к нему, имеет для (72-отображений
нулевую меру (уравнение Дуффинга аналитично). Таким образом, результаты
согласуются, но из них не следует, что типичная траектория будет
асимптотически хаотичной. В действительности, в некоторых случаях
наблюдаются переходные периоды хаоса, сменяющиеся асимптотически
периодическими движениями. Существование притягивающих инвариантных
множеств все еще остается неопределенным.
Рис. 5.4.1. Притягивающая гомоклиническая петля.
320
Глава 5
Пытаясь сложить связную картину данной ситуации, мы попадаем в область, в
которой теория остается в неудовлетворительном состоянии. Существуют
парадоксальные случаи, в которых различные теоремы, по-видимому, приводят
к противоположным выводам. Первый парадокс включает определение
аттрактора. Наиболее наивное представление об аттракторе для потока (fit
как о замкнутом неразложимом инвариантном множестве Л, обладающем
