Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
СЮ
то величина Ц (1 - а/33) положительна. Таким образом, С имеет поло-
з=о
жительную меру, несмотря на то, что его дополнение является открытым
плотным множеством на прямой.
Существуют однопараметрические семейства одномерных отображений, в
которых странные аттракторы присутствуют для множеств значений параметра,
во многом похожих на С. Это явление более полно описано в главе 6.
Основываясь на предпосылке, что одномерные отображения служат хорошей
идеализацией для уменьшающих площадь диффеоморфизмов плоскости, можно
предположить существование множеств значений параметров с положительной
мерой для систем Дуффинга, Ван дер Поля и "подскакивающий мяч", для
которых эти системы обладают странными аттракторами. Отметим, что это
лишь предположение, причем оно противопоставляется теоремам Ньюхауса,
сформулированным в главе 6. Ответ на это предположение является,
возможно, весьма значительной теоретической проблемой в наших теперешних
попытках применить теорию динамических систем к этим примерам. С
практической точки зрения, можно возразить, что этот вопрос не так важен,
так как наличие шума в реальных системах и вычислительных ошибок при
расчетах на компьютере делает долгопериодические орбиты с извилистыми
областями притяжения
5.4. Странные аттракторы и постулат устойчивости
323
неразличимыми от странных аттракторов. Однако этот вопрос высвечивает
неполноту нашего понимания даже динамики геометрических моделей наших
систем.
При обсуждении "распространенности странных аттракторов" с практической
точки зрения мы должны рассмотреть вопрос о структурной устойчивости.
Напомним (см. раздел 1.7), что динамическая система структурно устойчива,
если малые возмущения класса С\ приводят к топологически эквивалентным
системам. Исторически, структурно устойчивые странные аттракторы занимают
важное место в развитии теории динамических систем вопреки тому факту,
что все известные примеры таких аттракторов определяются геометрически, а
не при помощи явных уравнений, мотивируемых физическими моделями. В самом
деле, опыт изучения векторных полей на плоскости подсказывает, что все
векторные поля обладают структурно устойчивыми возмущениями, и поэтому
обычно можно игнорировать структурно неустойчивые системы (см. теорему
Пейксото). Этот принцип воплощается в постулате устойчивости, в котором
структурно неустойчивые системы считаются чем-то подозрительным. Этот
постулат утверждает, что, вследствие неопределенностей измерений и т.д.,
всякая модель физической системы имеет ценность лишь при условии, что ее
качественные свойства не меняются под действием возмущений. В случае
динамических систем это означет, что структурная устойчивость вводится
как априорное ограничение на "хорошие" модели физических явлений.
Логика, лежащая в основе этого постулата устойчивости, достойна
осуждения. Действительно, некоторые динамические системы (такие как
уравнения Лотки-Вольтерра из биологии популяций и гармонический
осциллятор без трения) не являются хорошими моделями для тех явлений,
которые они должны описывать, так как возмущения приводят к различным
качественным свойствам. Тем не менее, предполагаемые в наших примерах
странные аттракторы структурно неустойчивы, и мы уверены, что эти системы
являются реалистичными моделями для хаотического поведения
соответствующих (детерминированных) физических систем. Однако, так как
эти системы структурно неустойчивы, детали их динамики, не сохраняющиеся
при возмущениях, могут не соответствовать проверяемым физическим
свойствам систем. Ситуация аналогична вопросу, является ли длина
некоторого стержня рациональным или иррациональным числом (качественное
свойство). Ограниченность процессов измерения не позволяет дать
осмысленный ответ.
Таким образом, постулат устойчивости можно переформулировать таким
образом, что лишь существенные с физической точки зрения свойства
динамической системы (или семейства динамических систем) сохраняются при
возмущениях системы. Определение существенных физических свойств зависит,
очевидно, от конкретной задачи. Это совершенно отлича-
324
Глава 5
ется от первоначального утверждения, что хорошими системами являются лишь
те, все качественные свойства которых сохраняются при возмущениях.
В этом обсуждении постулата устойчивости мы не фокусировались на том,
какие возмущения допустимы для данной системы. Физические проблемы
зачастую обладают симметрией или удовлетворяют связям, которые желательно
сохранить при рассматриваемых возмущениях. Например, оба уравнения Ван
дер Поля и Дуффинга сохраняются при повороте плоскости на угол 7г, и эта
симметрия отражает свойства симметрии в физических системах, порождающих
эти уравнения. Следовательно, обсуждение структурной устойчивости в
контексте отдельных примеров требует указания допустимых возмущений
данной системы. Этот вопрос будет играть важную роль при нашем
исследовании кратных бифуркаций в главе 7.
5.5. Структурно устойчивые аттракторы1
