Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
работах Bowen [1978] и Conley [1978].
УПРАЖНЕНИЕ 5.2.5. Приведите пример, когда Г ф П. (Подсказка; постройте
поток на S1, имеющий ровно одно положение равновесия.)
Следующие определения позволяют разложить неблуждающие или цепно-
возвратные множества на части, неразложимые далее в динамическом смысле,
сделав, тем самым, достаточно расплывчатое обсуждение аттракторов в
разделе 1.6 более точным:
Определение 5.2.4. Замкнутое инвариантное множество Л топологически
транзитивно, если фг обладает орбитой, плотной в Л.
УПРАЖНЕНИЕ 5.2.6. Покажите, что множество, состоящее из гомоклинических
орбит и седловой точки (0, 0) системы
X = у,
2
у = х - X ,
топологически транзитивно.
Следующее аналогичное определение облегчает разложение цепновозвратных
множеств:
Определение 5.2.5. Замкнутое инвариантное множество Л неразложимо, если
для любой пары точек х, у ? Ли любого е > 0 существуют а; = хо, XI, Х2, ¦
¦ ¦, хп = у и ti, .. ., tn ^ 1 такие, что расстояния от 0ti(Xi-i) до Xi
меньше е.
5.2. Инвариантные множества и гиперболичность
297
УПРАЖНЕНИЕ 5.2.7. Покажите, что если два множества и ГЦ неразложимы, а их
пересечение непусто, то и их объединение неразложимо.
Из этого упражнения следует, что максимальные неразложимые множества
хорошо определены и разделены. Цепно-возвратное множество Г допускает
единственное представление в виде объединения попарно непе-ресекающихся
максимальных неразложимых множеств Г*. В ограниченных областях множества
Г j будут лежать на положительных расстояниях друг от друга. Значит, эти
множества таковы, что в них возможна любая рекурсия, и каждое из Г*
неразложимо в том смысле, что малые изменения траектории, оставляющие ее
в пределах Г, не могут вывести ее за пределы Г*. (Данное определение не
стандартно для литературы по динамическим системам, где большинство
авторов имеет дело с максимальными топологически транзитивными
множествами, однако мы должны сделать какой-то выбор. Для систем с
аксиомой А разумные выборы эквивалентны. Для систем более общего вида
неизвестно, какой выбор лучше. Мы решили встать на позицию работы с
максимально возможными инвариантными множествами. Технические вопросы,
подобные этому, явились проклятием для попыток развития четкой
математической теории для исследования примеров главы 2.)
Мы хотим теперь провести качественный анализ неразложимых инвариантных
множеств. Та степень, до которой нам удастся это сделать, во многом
зависит от нашей способности охарактеризовать гомоклиническое поведение
внутри такого множества в терминах гиперболических структур. Наши усилия
можно рассматривать как попытки переноса анализа динамики подковы на
общие неразличимые множества. Обсуждение аттрактора Лоренца в разделе 5.7
иллюстрирует дополнительные трудности, которые могут иметь место в
непрерывных системах.
Определение 5.2.6. Пусть Л - инвариантное множество для дискретной
динамической системы /: К" -> R". Гиперболической структурой для Л
называется непрерывное инвариантное разложение в прямую сумму ТдК" = Е\ (r)
.Ед, обладающее таким свойством: существуют постоянные С>0, 0<А<1 такие,
что
(1) если v е Е", то \Df~n(x)v\ < САга|г>|;
(2) если v G Е(r), то \Dfn(x)v\ < САга|г>|.
Сделаем несколько замечаний.
(i) В данном определении ТдМ" состоит из всех касательных векторов к R"
во всех точках множества Л. Для каждого х € Л ТхМ.п является касательным
пространством в точке х, и T^R" = Е" (r) Е| представляет собой разложение
этого векторного пространства в прямую сумму подпространств размерностей
и и s (и + s = п).
298
Глава 5
(ii) Производная Df отображает ТЖК" в Для инвариантности определения
требуется, чтобы Df(E|) = и Df(Ef) = Е^ху
Непрерывность разложения означает, что при изменении х ? Л в и Е{ можно
найти непрерывно изменяющиеся базисы. В общем случае такое разложение
нельзя выбрать гладким.
(iii) Условия гиперболичности (1) и (2) означают, что, с точностью до
бесконечно малых величин, векторы в Es (соответственно, в Е") сжимаются
экспоненциально в прямом (соответственно, в обратном) времени с
экспоненцильной скоростью Л равномерно для всех точек из Л и всех выборов
векторов в инвариантных подпространствах.
Равномерная гиперболичность трудна для проверки в конкретных примерах.
Ряд вычислительных процедур, протестированных на наборе примеров, показал
бы существенный прогресс попыток превратить теорию динамических систем в
средство для строгого анализа конкретных систем. Тем не менее,
гиперболичность играет центральную роль в большинстве рассмотрений
хаотической динамики.
Упражнение 5.2.8 (Проработанное частично). Постройте гиперболическую
структуру для кусочно-линейной подковы из раздела 5.1.
РЕШЕНИЕ. Разложение T^R" = Ef ф Ess в каждой точке х ? Л можно по-
ОО оо
строить, взяв подходящие части множеств [~| fn(S) и [~| f~n(S)
соответствен-
п=0 п=0
но. Каждое из этих множеств пересекает S по некоторому канторову
множеству сегментов. Следовательно, для всех х Ef является вертикальной
