Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
свойством: Л обладает окрестностью U такой, что <fit(x) С U для t > 0 и
<fit(x) -> А для всех х ? U, рассматривалось в разделе 1.6. Однако
использование такого определения сопряжено с трудностями. Для плоских
векторных полей седловая петля, для которой седловая величина
отрицательна, кажется притягивающей изнутри петли, но не снаружи. Этот
пример не является структурно устойчивым, но не похоже также, что в таких
системах, как уравнение Дуффинга, всегда возникают структурно устойчивые
странные аттракторы. Не очевидно даже, что уравнения Дуффинга с
возбуждением имеют инвариантные множества, большие, чем периодическая
орбита, и притягивающие целую окрестность. Следовательно, мы должны
принять более слабое определение.
Определение 5.4.1. Аттрактором называется неразложимое замкнутое
инвариантное множество Л, обладающее свойством: для данного ? > 0 в ?-
окрестности Л существует такое множество U с положительной мерой Лебега,
что для любого х С U w-предельное множество точки х содержится в Л, а
положительная полутраектория точки х содержится в U. Мы будем называть
аттрактор странным, если он содержит некоторую трансверсаль-ную
гомоклиническую орбиту1.
Одна из причин принятия такого определения состоит в том, что численные
результаты, полученные при исследовании динамических систем, по-видимому,
совместимы с результатом идеального эксперимента, в котором точка
выбирается случайно по отношению к мере Лебега (Bennetin et al. [1978,
1979]). Поэтому наше определение аттрактора должно служить хорошей
идеализацией утверждения, что имеется положительная вероятность того, что
расчетная траектория будет стремиться к Л2.
Требование неразложимости может быть проиллюстрировано следующим примером
(см. упражнение 1.6.4). Рассмотрим отображение ф\ за время 1 вдоль
потока, генерируемого системой
Q
/у> - /у* у*
}
У = -У,
Афраймович и Шильников [21] ввели понятие "квазиаттракгора", подчеркивая
тем самым его возможное отличие от "странного аттрактора". - Прим. ред.
Современное исследование данного определения аттракторов с позиций
физических примеров проведено Ruelle [1981], который использовал идею
цепного возвращения.
5.4. Странные аттракторы и постулат устойчивости
321
я> О
Рис. 5.4.2. Притягивающее множество не обязано быть аттрактором.
фазовый портрет которой изображен на рисунке 5.4.2. Имеется два стока в
точках (х,у) = (±1,0) и седло в начале координат. Ясно, что при
подходящем выборе множество U, содержащее эти точки, отображается под
СЮ
действием ф\ в себя, и предельным множеством |"| ф" (U) является замкну-
71=0
тый интервал [-1,1]. Если опустить требование неразложимости, то [-1,1]
является аттрактором, но почти все точки из U являются асимптотически-
СЮ
ми к одному из стоков в точках (±1,0). Поэтому множество |"| ф" (U) не
71=0
представляет особого интереса. Однако в некоторых проблемах, подобных
СЮ
примеру Дуффинга, хотя множество |"| <pi(U) содержит периодические
п=о
стоки и потому разложимо, области притяжения этих стоков столь узки и
извилисты, что малые (вычислительные или физические) возмущения
препятствуют выходу типичной орбиты на асимптотически периодический
оо
режим, хотя они остаются произвольно близкими к |"| у'( (U). Здесь отказ
71 = 0
от требования неразложимости может быть разумным.
Допустим, что мы нашли аттрактор в некоторой динамической системе при
определенном значении параметра. Затем мы хотим узнать, сохранится ли он
для близких значений и существуют ли (аналогичные) аттракторы для
"большинства" значений параметров. Имеются альтернативные точки зрения на
то, какие типы множеств должны считаться важными, а какие -
пренебрежимыми при оценке "типичности" поведения. Здесь мы примем ту
322
Глава 5
из них, в которой явлениями, реализующимися на множествах положительной
меры Лебега, нельзя пренебрегать. Такая позиция отчасти конфликтна точке
зрения о необходимости рассматривать лишь типичные множества: счетные
пересечения открытых плотных множеств. Противоречие состоит в
существовании типичных множеств, дополнения к которым имеют положительную
меру. В качестве иллюстрации опишем одно из таких множеств, имеющее
отношение к анализу одномерных отображений (см. ниже раздел 5.6).
Выберем числа 0<а<1и0</3<1. Мы построим канторово множество С по
индукции, определяя множества Со D Ci D Сг D ... и
СЮ
полагая С = П Сг, ГДе Сг является объединением 2* замкнутых интервалов
г=О
равной длины. Если длина каждого из таких интервалов равна 7ь то для
получения Ci+i из Ci требуется удалить из каждого интервала I,
принадлежащего Ci, открытый интервал J длины aj3l7 с центром в середине
I. Тогда I-J состоит из двух интервалов длины (7^/2)(1 - сг/Зг).
Обозначим общую длину всех интервалов из Ci'. U = 2*7*, тогда U+i = U{1 -
а(Зг).
г-1
Отсюда следует, что k = 1о П (1- тогда мера множества С равна U =
з=о
ОО ОО ОО
= 1о П (1 - а/3-7'). Поскольку X) [1 - (1 - cr/3J)] = a/3J = а/(1 -/3) <
сю, j=о j=о j=о
