Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гукенхеймер Дж. -> "Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей" -> 102

Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.

Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 560 c.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка): nelineyniekolebaniya2002.djvu
Предыдущая << 1 .. 96 97 98 99 100 101 < 102 > 103 104 105 106 107 108 .. 199 >> Следующая

прямой, а Е%. - горизонтальной прямой: см. рисунок 5.2.2. Далее,
поскольку отображение линейно на Н1 U и
Df-(К ±°")'
то оценкам, приведенным в определении 5.2.6, можно удовлетворить, взяв в
качестве Л наибольшее из чисел Л и уГ1, а С положить равным единице.
Данное разложение неизменно, так как отображение линейно на каждом
участке и имеет те же собственные векторы.
В этом примере мы рассмотрели кусочно-линейное отображение подковы,
ограниченное на Н\ U Е1о С S. Идею гиперболичности можно также применить
к более общим нелинейным отображениям, и мы сейчас опишем, как проверять
гиперболичность в таких случаях. Мы основываемся на изложении Мозера
[1973], книгу которого рекомендуем читателю для более подробного
ознакомления, и концентрируемся на подкове и ее обобщениям.
Поскольку мы хотим обобщить наши методы на нелинейные отображения, нам
потребуется более широкое определение горизонтальной и вертикальной
полосок {Eli}, {Vi} квадрата S = {{х,у) ? R2 | 0 < х < 1, 0< 1}:
5.2. Инвариантные множества и гиперболичность
299
Рис. 5.2.2. Разложение для подковы.
Определение 5.2.7. Вертикальной кривой х = v(y) называется такая кривая,
для которой
о < v(y) < 1, \v(y!) - v(y2)\ < n\yi - y2\ при О < yi < y2 < 1 (5.2.1)
для некоторого р <Е (0,1). Аналогично, горизонтальной кривой у = h(x)
называется такая кривая, для которой
О < h(x) < 1, \h{x1) - h{x2)\ < р\х\ - Х2\ при 0 < х\ < х2 < 1.
(5.2.2)
Для двух данных непересекающихся вертикальных кривых v\(y) < г'2(у), у ?
[0,1], можно определить вертикальную полоску
V = {{х, у) \ хе [г>1 (у), v2{y)\; у е [0,1]}, (5.2.3)
а для двух данных непересекающихся горизонтальных кривых hi(x)<h2(x), х е
[0,1], мы имеем горизонтальную полоску
н = {{х: у) \ х ? [0,1]; у е [/ц(х), h2(x)]}. (5.2.4)
Наконец, ширина горизонтальной и вертикальной полосок определяется
формулой
d(V) = max \v2(y) - vi(y)\, d(H) = max \h2(x) - h\{x)\. (5.2.5)
уе[од] жс[од]
Теперь легко доказать следующие утверждения:
300
Глава 5
Лемма 5.2Л. Если V1 D V2 D V3
- последовательность вло-
женных вертикальных (или горизонтальных) полосок, причем d(Vk) при к -
кривой.
0
оо, то Vk = П Vk является вертикальной (или горизонтальной) k=1
Лемма 5.2.2. Любая вертикальная кривая v(y) и любая горизонтальная кривая
h(x) пересекаются ровно в одной точке.
Таким образом, каждой паре кривых (и, следовательно, каждой паре
вложенных последовательностей полосок) соответствует ровно одна точка х ?
S. Теперь сформулируем гипотезы об отображении f: S -> М2. Заметим, что
мы можем иметь любое число горизонтальных и вертикальных полосок (в
действительности, Мозер допускает наличие счетного множества полосок).
Н1. Пусть V - множество {1, 2, ..., N} и пусть Щ, V) - раздельные
горизонтальные и вертикальные полоски (i ? 6V), причем f(Hi) = Vi
(г е У).
Н2. / равномерно сжимает вертикальные полоски, а / 1 равномерно сжимает
горизонтальные полоски, т. е. если v\, г>2 - две любые вертикальные
кривые, ограничивающие некоторую вертикальную полоску V[ С V), то
множество /(И/) П Vj является вертикальной полоской, причем
d{f{Vl) П Vj) < ud(V;)d(Vj)/d(V)
для некоторого v ? (0,1) и любых г, j ? Аналогично, если hi, Лд - две
любые горизонтальные кривые, ограничивающие некоторую горизонтальную
полоску Н( С Hi, то множество f~1(H'i)P\Hj является горизонтальной
полоской, причем
П Hj) < ud(H()ud{Hj)/d(Hi).
Если мы имеем С1-отображение / = (/ь/г) с линейной частью Df
вида
(5.2.6)
то в качестве альтернативы для Н2 можно взять следующую гипотезу.
НЗ. Существуют множества (пучки секторов) Su = {(?,17) I |?| < lAhl},
определенные на (J Vi, и 5s = {(?,f?) | \rj\ < /i|?|}, определенные
ies?
-dfi dfv\
дх ду (?\ def a b
dh dh V7?/ с d
_ дх ду .
5.2. Инвариантные множества и типерболичность
301
на [J Hi, где р, е (0,1), такие, что Df{Su) С S'" и Df 1(SS) С Ss.
ie-9
Кроме того, если ?>/(?0,770) = (?1,771) и ?/_1(?о,Vo) = (?-1,77-1), то
|t7i| > (1/р)|7?о| и |?_! > (l/p)\xi0\ (см. рисунок 5.2.3).
(а)
S
Н,
Рис. 5.2.3. (а) Полосы Hi, Vi', (b) сектора Su, Ss.
В действительности, так как мы интересуемся лишь проверкой
гиперболичности в окрестности Л, то НЗ должно выполняться лишь в N2
"квадратах" [J (V, П Hj), а не на всех полосках. Как мы увидим, такое
ослаб-
i,je9
ление требования иногда бывает полезно в приложениях.
Справедливо такое утверждение.
Предложение 5.2.3. Из Н1 и НЗ с 0 < р < 1/2 следует Н2, где и = ii/(l -
ц).
Для доказательства этого результата надо сначала убедиться, что, как и в
кусочно-линейном случае, прообраз для / любой горизонтальной полоски Hi
является совокупностью более тонких горизонтальных полосок Hji, а образ
любой вертикальной полоски V/ является совокупностью более тонких
вертикальных полосок Vki- Затем проверяются оценки сжатости d(Н^) <
vd(Hj) и d(Vki) < vd(Vk), где v = p/(l - p).
Теорема 5.2.4. Если f является двумерным диффеоморфизмом, удовлетворяющим
HI и Н2, то / обладает инвариантным множеством К, топологически
Предыдущая << 1 .. 96 97 98 99 100 101 < 102 > 103 104 105 106 107 108 .. 199 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed