Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
окрестность Л, сохраняя "параллельность" различным членам неустойчивого
многообразия Еи. Таким образом, орбиты, стартующие близко друг от друга,
могут иметь совершенно разные судьбы.
Орбиты, асимптотические к Л, образуют устойчивое многообразие ТI'* (А),
которое может задавать очень сложные границы областей притяжения для
разных аттракторов: в этом подкова проявляет себя аналогично хаотической
седловой точке. Таким образом, при наличии подков ожидаемы
(долговременные) хаотические переходы, прежде чем орбиты "установятся" на
некотором положении равновесия или периодическом движении. Хотя почти все
орбиты (в смысле меры Лебега), проходящие вблизи Л, рано или поздно
покидают окрестность этого множества, само присутствие последнего
драматически влияет на их поведение. Теорема об устойчивом многообразии
для гиперболических множеств точно описывает, как точки гиперболического
инвариантного множества проявляют седловое поведение, а также приводит к
топологической характеристике хаотической природы динамики внутри
инвариантного множества:
Теорема 5.2.8 (Hirsch, Pugh [1970]). Пусть Л - компактное множество,
инвариантное для Сг-диффеоморфизма /: R" -а- Мга, имеющего
гиперболическую структуру Ед ф Е^. Тогда существует е > 0 и два семейства
многообразий W^{x), W(tm){x), х ? Л со следующими свойствами'.
1) у ? We{x) тогда и только тогда, когда d(fn(x), /"(у)) ^ ? для всех п ^
0.
у ? W(tm){x) тогда и только тогда, когда d(fn(x),fn(y)) ^ е для всех п ^ 0.
2) Касательными пространствами к W* (ж) и W" (ж) в точке ж являются ЕЦ. и
Е(tm) соответственно.
3) Существуют такие постоянные С > 0, 0 < Л < 1, что если у ?
Wes(x), то d(fn(x), fn(y)) ^ САп для всех п ^ 0, и если у ?
W"(ж), то d(f~n(ж), /""(у)) ^ САп для всех п > 0.
4) W(r)(ж) и W"(ж) являются вложенными дисками в М". Отображения множества
Л в функциональное пространство Сг-вложений дисков в М", заданные
формулами ж -> W^{x) аж^ W(tm){x), непрерывны.
308
Глава 5
Точный смысл утверждения (4) и доказательство теоремы об устойчивом
многообразии требуют большего обсуждения функциональных пространств и их
топологий, чем это уместно в данной книге. Один из аспектов этого
утверждения, который мы будем использовать, состоит в непрерывной
зависимости касательных пространств и диаметров множеств W?{x) и We(x) от
х. Учитывая трансверсальность подпространств в гиперболической структуре,
получаем отсюда такое следствие:
Следствие 5.2.9. Пусть А - компактное гиперболическое инвариантное
множество для диффеоморфизма /: R" -> R". Тогда существуют такие 5 > 0 и
? > 0, что если х,у ? А и d(x, у) < 5, то множество W?{x) П W"(y) состоит
ровно из одной точки.
Доказательство. Если х = у, то касательными пространствами к W^{x) и
W?(x) будут Е%. и Е(tm). Они являются дополнительными, поэтому W?{x) и ТУ
"(ж) пересекаются трансверсально в точке х. Поэтому для достаточно малых
? множество Wes(х) П W^(x) состоит из единственной точки х. Используя
непрерывность инвариантных многообразий и компактность Л, мы можем
выбрать ? независящим от х, а затем найти такое 5, чтобы выполнялось
утверждение следствия. ¦
Использованная идея иллюстрируется рисунком 5.2.6.
Рис. 5.2.6. Следствие 5.2.9.
Для линейной подковы из раздела 5.1 локальные устойчивые и неустойчивые
пучки U W^{x) и U W?(x) содержатся во множествах ESK и Е\,
X X
обсуждавшихся выше (см. рисунок 5.2.2).
На протяжении данного раздела, и вообще при нашем изучении глобальной
динамики нелинейных систем, мы широко пользовались и будем пользоваться
локальной линеаризацией. Например, при доказательстве гомоклинической
теоремы Смейла-Биркгофа в следующем разделе и анализе гомоклинических
орбит для отображений и потоков в главе 6, в то время
5.3. Разбиения Маркова и символическая динамика
309
как знание качественных свойств динамики необходимо, чтобы быть уверенным
в возвращаемости орбит к их начальным точкам, количественные оценки,
действительно позволяющие получать сильные результаты, основываются на
локальном анализе линейных систем. Мы закончим данный раздел результатом,
использующим эти идеи, оставляя доказательство в качестве упражнения.
Теорема 5.2.10 (Лямбда-лемма, Palis [1969]). Пусть / - С1-диффеоморфизм в
R", имеющий гиперболическую неподвижную или периодическую точку р,
обладающую устойчивым и неустойчивым многообразиями с размерностями s и и
(s + и = п), и пусть D - и-диск в Wu(p). Пусть Д - некоторый и-диск,
пересекающий трансверсально Ws{jj) в некоторой точке q. Тогда множество
[J /"(Д) содержит и-диск, произвольно
п^О
С1 -близкий к D.
УПРАЖНЕНИЕ 5.2.11. Докажите теорему 5.2.10. (Подсказка: считайте р
неподвижной точкой, так как в случае fc-периодической точки можно
заменить / на fk. Введите локальные координаты (х,у) ? К'х R" в некоторой
окрестности U точки р таким образом, что устойчивое и неустойчивое
многообразия локально задаются формулами у = 0 и х = 0 соответственно.
Изучите историю точек из fk (Д) и касательных векторов к /*(Д) в пределах
