Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
эквивалентным сдвигу а на ? - множестве бесконечных в обе стороны
последовательностей, составленных из элементов Э>. Иными словами,
существует гомеоморфизм h: ? -> Л такой, что /|Л =
302
Глава 5
= ho a oh 1. Кроме того, если / является Сг-диффеоморфизмом (г у 1),
удовлетворяющим Н1 и НЗ для /л € (0,1/2), причем |det(D/)| 4 \d~2
и | det(D/)|_1 4 \lJL~'2' то ^ гиперболично.
Замечание. В случае сохранения площади | dot (/-//') = 1, поэтому
последнее условие выполняется для консервативных и слабо диссипативных
систем.
Доказательство (Мозер [1973]). Мы обобщим аргументы раздела 5.1.
Определим по индукции полоски 14_1а_2...а_" = /(Та_2а_3... )П Va_1 И
Haaaia2 ,,,ап = f-\Haia2. . ,а") П Наа. (Заметим, что множества Vp = =
f(Vi)nVj uHji = фигурирующие в гипотезе H2, являются
частными случаями и что Vkp = f(Vp) П 14 = /2(?у) П /(!/) П 14, и т.д.) В
силу Н2, имеем d{Va_ia.2... a_r,) 4 vd(Va_2... a_") 4 un~1d{Va_") 4 ^"_1
и dHaoai.. ,a" 4 vnd(Han) 4 vn- Переходя к пределу при п -> оо, имеем, по
лемме 5.2.1, для каждой пары последовательностей единственную
горизонтальную и вертикальную кривую:
СЮ СЮ
V(tt) = 1^1 la_ia_2 ¦ ¦ ¦ а,-п , Я(й) = Haoai _ _ _ ,
п=1 n=0
откуда, по лемме 5.2.2, существует единственная точка х = V{a)C\H(a),
соответствующая последовательности а(х)={... а_"... а-гЯ-цтосцаг- • .}cS.
Из построения следует, что последовательность а/т) описывает орбиту х под
действием /, так как
оо оо
ЯД = ( П ^оа_! ¦ ¦ ¦ а-,.) П ( П ¦ • -а")
п=0 п=1
соответствует сдвинутой последовательности
{ . . . Cl - pi . . . Cl - 2(r) -1&0 * ^1^2 • • • • • • }•
Наконец, остается показать, что соотношение х = h(a(x)) является
гомеоморфизмом. Непрерывность h следует из факта, что если аь = а'к для
\к\ 4 j, то обе точки х = h(а) и х' = h(а') лежат в Va_1... a_j
и
в Яао. . ,а;. Поскольку d(Va_1 ...а-,) < v3~1 и d{Hao.. ,а. < 4/
то \х -
- х'\ 4 (1/(1 - d)){v3 + Я-1). Так как компоненты Н2, Vj разделены, то h
инъективно. Мы оставляем читателю проверку непрерывности /г-1 и
последнего утверждения теоремы на основе предложения 5.2.3. ¦
5.2. Инвариантные множества и типерболичность
303
Замечание. Очевидно, что диффеоморфизм /, удовлетворяющий условиям
теоремы 5.2.4, можно подвергнуть С1 возмущениям без нарушения Н1 и НЗ,
поэтому /|л структурно устойчиво, как и утверждалось в разделе 5.1.
В качестве примера использования данного метода используем задачу о
подскакивающем мяче из раздела 2.4 (уравнение (2.4.4))
^0 > {Ф "Ь v7 (XV у cos (ф + ")). (5.2.7)
Мы уже демонстрировали существование топологических подков, полосок Hi,
Vi таких, что fa,-у(Hi) = Vi, (i = 1,2). Теперь мы покажем, что эти
подковы при некоторых дополнительных ограничениях гиперболичны. Вначале
напомним предшествующий результат, а затем получим для данного примера
оценки НЗ для пучков секторов.
Лемма 5.2.5. Для а = 1 и у ^ 4л отображение fa,~/ обладает топологической
подковой, т. е. существуют "горизонтальные" и "вертикальные" полоски Hi,
Vi такие, что /а^{Нф) = Vi, (i = 1, 2).
Здесь мы отходим от условий Мозера (5.2.1)-(5.2.2) в том, что
"горизонтальная" полоска считается ограниченной кривыми v = v(<p), где
|г>'| < 2,
а "вертикальная" полоска ограничивается кривыми ф = ф(с), где \ф'\ <
Доказательство. Заметим, что при а = 1 отображение / периодично и по ф, и
по v с периодом 2тт. Не теряя общности, выберем в качестве основной
области Q параллелограмм ABCD, ограниченный прямыми ф + + v = 0 (АВ), ф +
v = 2л {CD), ф = 0 (AD), ф = 2тг (ВС). Заметим, что Q расслаивается
семейством прямых ф+v = к, к € [0, 2л], причем образы этих прямых под
действием / представляют собой вертикальные отрезки ф = к, v G [к - 2 л -
у cos к, к -у cos к]. Наконец, образами границ ф = 0 я ф = 2тт являются
кривые v = ф - 7 cos ф, v = ф - 2л - у cos ф\ см. рисунок 5.2.4.
Для получения двух раздельных полосок изучим образы сегментов из Q,
лежащих на прямых ф + v = к, где к = 0, л и 2л. Каждый из образов
является вертикальным отрезком, на котором ф постоянно, a v меняется в
промежутках [-2л - у, -у], [-л + у, л + у] и [-у, 2л - у] соответственно.
Как легко проверить, при у > 4л образы обоих сегментов для значений к = 0
и к = 2л лежат ниже Q, а образ сегмента для значений к = л лежит выше Q.
Кроме того, простые расчеты показывают, что при у > 4л угловые
коэффициенты кривых, ограничивающих 1у и V2 по модулю больше, чем 2, а
для кривых, ограничивающих Н\ и /!¦>, они по модулю меньше 2.
Замечание. 1. Более тонкие оценки показывают, что величину у можно
несколько уменьшить, не разрушая топологию полосок.
304
Глава 5
v
С
В
D'
С'
Рис. 5.2.4. Подкова для /а. 7 из уравнения (5.2.7): а = 1,7 = 5д.
2. Так как образы A'D' и В'С' отрезков AD и ВС даются формулами v = ф - 7
cos фию = ф - 2тт - у cos ф соответственно, несложно рассчитать границы,
между которыми должны лежать вертикальные полоски V) и 15. Их можно найти
как подходящие корни следующих уравнений.
Vi : корни уравнений ф - 7 cos ф = -ф
