Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гукенхеймер Дж. -> "Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей" -> 115

Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.

Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 560 c.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка): nelineyniekolebaniya2002.djvu
Предыдущая << 1 .. 109 110 111 112 113 114 < 115 > 116 117 118 119 120 121 .. 199 >> Следующая

332
Глава 5
имеет два образа на ребре D, а _121 = 2, так как каждая точка на втором
ребре (В) имеет два образа на ребре D.
Отображение / можно выбрать так, чтобы в дополнение к вышеприведенным
топологическим свойствам Df было равномерно сжимающим на касательных
пространствах Е8_ к W8(xi) и равномерно расширяющим на неустойчивых
пространствах Екасательных к Wu(xi), как в определении 5.2.6. Таким
образом, А - гиперболический аттрактор, а так как он содержит подковы
(непосредственно по построению), то он удовлетворяет нашему определению
странного аттрактора. Локально А является произведением некоторой кривой
и канторового множества.
Аттрактор Плыкина использовался при отображении двумерных торов,
соответствующих отображению Пуанкаре трехмерных торов, для доказательства
того, что взаимодействие трех предельных циклов может привести к
хаотическому движению (Newhouse и др. [1978], ср. Newhouse [1980]).
Рис. 5.5.5. Упражнение 5.5.2.
УПРАЖНЕНИЕ 5.5.2. Попытайтесь построить гиперболический аттрактор с двумя
отверстиями, исходя из графа G и отображения на рисунке 5.5.5. Что мешает
это сделать?
Топология аттрактора Плыкина уже довольно сложна, но она предоставляет
"идеальный" прототип для гиперболических аттракторов, которые могут
встретиться в уравнениях Дуффинга и Ван дер Поля. Однако вряд ли
существует слоение устойчивых многообразий в каждом из этих случаев,
которые везде будут пересекать неустойчивое многообразие транс-
5.5. Структурно устойчивые аттракторы
333
Рис. 5.5.6. Несуществование устойчивого слоения в системы Дуффинга.
версально. Рассмотрим, к примеру, рис. 5.5.6 (ср. рис. 2.2.8) и допустим,
что аттрактором является множество Cl(Wu(p)). Тогда должно существовать
устойчивое слоение (включающее W8{p)), трансверсальное к Wu(p) во всех
точках, однако, поскольку Wu(p) изгибается вокруг себя без видимых
обходов нескольких отверстий аттрактора Плыкина, любая попытка расслоить
U при помощи устойчивых многообразий необходимо приведет к появлению
некоторых членов слоения, касательных к Wu(p). Таким образом, в данных
примерах топологические предпосылки для существования гиперболических
аттракторов, по-видимому, не выполнены.
Исследования отображения подскакивающего мяча (2.4.4) и отображения
Хенона (Нёпоп [1976]) приводят к аналогичной проблеме: в обоих случаях
можно найти притягивающее множество р| fn(D), но нельзя най-
п^О
ти устойчивое слоение. Однако, как показал Miziurewicz [1980],
кусочнолинейный аналог отображения Хенона, предложенный Lozi [1978],
имеет гиперболический странный аттрактор. Данное отображение имеет вид
(х, у) -> (1 + у - а\х\, Ьх). (5.5.3)
Так как инвариантные многообразия для этого отображения кусочно-линейны,
точки касания устойчивого и неустойчивого многообразий заменяются
угловыми точками. Исключая множество меры ноль, все устойчивые и
неустойчивые многообразия пересекаются трансверсально, поэтому почти
всюду можно воспользоваться оценками гиперболичности.
В следующих разделах мы обсудим более подробно аргументы, касающиеся
существования негиперболических "странных" аттракторов в системе Дуффинга
и ей подобных. Напротив, раздел 5.7 посвящен уравнениям
334
Глава 5
Лоренца, где используются некоторые аспекты систем с непрерывным
временем, которые пока в данной главе не учитывались.
5.6. Одномерный признак существования странных аттракторов
Связные гиперболические аттракторы обладают тем свойством, что
неустойчивое многообразие одной точки плотно в аттракторе. Для уравнений
Дуффинга и Ван дер Поля с возбуждением мы можем предположить, что
существуют значения параметров, для которых неустойчивое многообразие
некоторой периодической орбиты лежит на неразложимом инвариантом
множестве. Такое инвариантное множество было бы прекрасным кандидатом в
странные аттракторы, которые мы ищем. Для обсуждения состояния дел в
отношении этого предположения рассмотрим семейство диффеоморфизмов на
плоскости, определенных непосредственно, а не при помощи решений
уравнений вынужденных колебаний осциллятора, и обладающих некоторыми
свойствами проблемы подскакивающего мяча.
Нёпоп [1976] провел численный анализ диффеоморфизмов Fa}R2 -> R2,
определенных формулой
Fa,b{x, у) = (у, 1 + Ьх -ау2). (5.6.1)
На рисунке 5.6.1 воспроизведены построенные Хеноном участки орбиты одной
точки1 (ср. с рисунками 2.4.5 и 2.4.7 для задачи о подскакивающем мяче).
В той мере, в какой точки этой траектории кажутся заполняющими одномерную
кривую, неотличимую от неустойчивого многообразия седловой точки х = у =
(1/2а)(Ъ - 1 + ^/(1 - b)2 + 4а), расчеты Хенона служат численным
свидетельством существования странного аттрактора, содержащего
неустойчивые многообразия своих периодических орбит. В частности,
последовательные итерации на рисунке 5.6.1 кажутся лежащими на множестве,
локально представляющем собой произведение некоторой кривой и канторова
множества, и, как было доказано, некоторые гиперболические аттракторы,
Предыдущая << 1 .. 109 110 111 112 113 114 < 115 > 116 117 118 119 120 121 .. 199 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed