Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
последовательности бифуркаций удвоения периода, где дополнительно
возникает "универсальная" структура, описанная в разделе 6.8.
Случай странного аттрактора возникает, когда сам аттрактор Л является
конечным объединением замкнутых интервалов. Один простой пример странного
аттрактора для NS отображения имеется у квадратичного отображения
Это отображение переводит I = [0,1] на себя, так что траектория точки с
описывается формулами /(с) = 1 и /"(с) = 0, п ) 2. Проводя рекурсию,
убеждаемся в существовании 2" субинтервалов в I, каждый из которых
переводится отображением /" на I. Каждый из этих субинтервалов содержит
некоторую неподвижную точку отображения /". На рисунке 5.6.2 изображена
функция /3, имеющая 23 - 1 = 7 критических точек, а также восемь
интервалов 1\. ..., Ig.
Можно дополнительно доказать, что эти периодические точки плотны в/и что
производная от /" в каждой из ненулевых неподвижных точек равна ±2".
Кроме того, мера с распределением dx/(тг^Ух(1 - х)) инвариантна и
эргодична для отображения /. Эти утверждения являются простыми
следствиями того факта, что / топологически сопряжено кусочно-линейному
отображению
f(x) = 4х(1 - х).
(5.6.5)
/О) = <
(5.6.6)
1См. раздел 5.8.
338
Глава 5
Рис. 5.6.2. Приведено отображение /3 с восемью подынтервалами Ij и
неподвиж-
3
ными точками. Отметим, что две из них (х = 0, х = являются неподвижными
точками для /, а оставшиеся шесть образуют две орбиты периода 3 для /.
Отметим, что f3(Ij) = I для всех j.
при помощи гомеоморфизма
2
h(x) = - arcsini/ж (5.6.7)
(см. Ulam, von Neumann [1947], а также Ruelle [1977]). Отображение
(5.6.6) оставляет инвариантной меру dx, и, применяя к ней преобразование
Л-1, получим инвариантную меру для /. Таким образом, в данном примере
весь интервал I ведет себя как странный аттрактор.
Имеется простой топологический критерий, выполнение которого гарантирует,
что NS отображение имеет связный странный аттрактор Л С I. Лежащая в его
основе идея состоит в том, что для любого субинтервала в Л должна найтись
некоторая итерация, покрывающая все Л. Можно упростить этот критерий,
сведя его к проверке того, что некоторые особые интервалы обладают
итерациями, в конце концов содержащими все Л. Центральная точка для /
определяется как периодическая точка для некоторого /", обладающая тем
свойством, что /" монотонна на интервале [р, с]. Если р' ^ р - точка, в
которой f{pf) = f(p), то центральная точка р называется ограничивающей,
если fn([p,р']) С [р,р!]. Геометрически это означает, что график функции
/" не покидает прямоугольника, изображенного на рисунке 5.6.3.
5.6. Одномерный признак существования странных аттракторов 339
Рис. 5.6.3. Центральная ограничивающая точка.
В данной ситуации итерации этого интервала, содержащего точку с, не могут
расшириться и покрыть I. Guckenheimer [1979] доказал, что некоторое NS
отображение / имеет связный странный аттрактор тогда и только тогда,
когда не существует ограничивающих центральных точек.
Вернемся теперь к рассмотрению однопараметрического семейства NS
отображений /м: I -> I. Если существуют такие значения (цсь/п), для
которых /Мо (с) = с и /М1 (с) = 1, то мы будем говорить, что /м является
полным семейством (см. раздел 6.3). Обозначим Мр, Мс и Ма множества
значений параметров из интервала М = (цсь/a), для которых возникают
периодические, критические и странные аттракторы соответственно.
Множество Мр содержит интервалы, и мы предполагаем, что оно плотно в М
для многих семейств /. Безотлагательный вопрос касается размера Ms.
Jakobson [1981] доказал теорему, включающую результат о том, что
множество М8 имеет положительную меру Лебега. Таким образом, при
случайном выборе значения параметра из М имеется положительная
вероятность того, что полученное отображение будет иметь странный
аттрактор, являющийся конечным объединением интервалов. (Аналогичный
результат справедлив для диффеоморфизмов на окружности с иррациональными
числами вращения, см. раздел 6.2.)
Доказательства Jakobson [1981] и Collet, Eckmann [1980] длинны и
запутанны. В терминах сформулированного выше критерия мы хотим изучить
множество значений параметра Мв С М, для которых отображения /), не имеют
ограничивающих центральных точек. При проверке для перемен-
340
Глава 5
ного jj, следует исключи ть те значения р, для которых имеется
ограничивающая центральная точка периода п. Действуя по индукции, можно
надеяться на то, что с ростом п будут исключаться уменьшающиеся доли
остающихся значений параметра, так что в итоге Ма можно описать как
канторово множество с положительной мерой. (Напомним канторово множество
из раздела 5.4, смотри также ниже раздел 6.2.) Существует несколько
различных типов оценок, требующихся для правомерности такого
доказательства. Они включают три различных аспекта отображения:
1) величину (/^)"(с);
2) изменение (с) в зависимости от р;
3) степень отличия от квадратичного отображения на субинтервале [р, р'],
