Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
такие как в примере Плыкина из раздела 5.5, имеют точно такую локальную
структуру (Williams [1967, 1974]). Однако, подобно примеру Дуффинга, эти
неустойчивые многообразия загибаются назад (а не окружают отверстия, как
в примере Плыкина), и потому нельзя надеяться на существование расслоения
устойчивых многообразий, трансверсального к этим неустойчивым кривым.
Поэтому аттрактор, если он действительно существует, не явлется
гиперболическим.
1 Ханш пользовался иной, но эквивалентной формой (х, у) - ( I + у - ах2,
Ьх).
5.6. Одномерный признак существования странных аттракторов 335
х
Рис. 5.6.1. Орбиты отображения Хенона (х, у) -" (1 + у - ах2, Ъх) для а =
1,4, b = 0,3: (а) 10 000 итераций (жо, уо) = (0,631, 0,189) (вблизи
седловой точки); (Ь) увеличенное изображение области А в (а): 105
итераций; (с) увеличенное изображение области В в (b): 106 итераций. (Из
работы Нёпоп [1976].)
Существует аналог проблемы, касающейся существования аттрактора для
отображения Хенона, который был исследован строгими методами. Эта задача
касается одномерных отображений и может быть интерпретирована как
сингулярный предел отображения Хенона при 6 -> сю. Матрица Якоби
отображения Хенона Fa^ имеет детерминант -Ъ. Следовательно, hn.i,
сокращает площади с коэффициентом |6|. Предел 6 = 0 является сингулярным,
он соответствует отображениям, которые сужают плоскость в некоторую
кривую. Значение Fa^ не зависит от координаты х в паре (х,у), поэтому мы
можем строить траектории Fa^o в терминах одномерных отображений
fa(y) = 1 -ау2.
(5.6.2)
336
Глава 5
Для О ^ а ^ 2 fa отображает интервал
1 - [~h{1 + ^1+4а)> i(1 + ^+Аа\
в себя. Теория одномерных отображений интенсивно развивалась в последние
несколько лет, и в этом контексте было установлено существование
негиперболических странных аттракторов. В данном разделе мы представим
соответствующие теоремы Jakobson [1978, 1981] и Collet, Eckmann [1980] и
поразмышляем о их связи с отображением Хенона и вынужденными колебаниями
осциллятора. По ходу этого раздела,для читателя может оказаться полезным
обратиться вперед, к разделу 6.3, в котором изучаются параметризованные
семейства одномерных отображений.
Работа с итерациями отображений интервала концентрировалась на изучении
однопараметрических семейств отображений f:I ¦ 1,1 = = [0,1], имеющих
единственную критическую точку. Семейство квадратичных функций
является прототипом рассматривавшихся семейств. Сингулярное отображение
Хенона (5.6.2) можно легко преобразовать в это семейство. Оказывается,
что такие семейства обладают очень богатой структурой, и после 1975 года
была развита их обширная теория. Некоторые аспекты этой теории освещают
типы поведения, которого можно ожидать от негиперболического аттрактора.
Хорошим общим введением может служить монография Collet, Eckmann [1980].
Здесь мы сфокусируемся лишь на тех вопросах, которые относятся к проблеме
странного аттрактора.
Рассмотрим непрерывное отображение /:/->/ единичного интервала I = [0,1],
удовлетворяющее условию /(0) = /(1) = 0 и имеющее единственную
критическую точку с, т. е. / строго возрастает на [0, с) и строго убывает
на (с, 1]. Если / удовлетворяет еще некоторым ограничениям, в частности,
если / трижды дифференцируемо, /'(0) > 1 и производная Шварца (шварциан)
отрицательна на I - {с}, то можно сделать вывод, что почти все точки I
(по отношению к мере Лебега) имеют одинаковое асимптотическое поведение.
Мы будем называть такое отображение для краткости NS. Таким образом,
может существовать множество точек нулевой меры, которые можно разложить
на расширяющиеся гиперболические инвариантные множества, однако
притягивающая часть неблуждающего множества будет неразложима. Аттрактор
может быть просто периодической орбитой, но возможно также, что это
притягивающее множество содержит расширяющиеся (= неустойчивые)
периодические орбиты. В контексте одномерных отображений, такие
ff(x)=px( 1-х), 0<ц<4
(5.6.3)
(5.6.4)
5.6. Одномерный признак существования странных аттракторов 337
орбиты играют роль трансверсальных гомоклиниических точек
диффеоморфизмов.
Для NS отображений возможно три типа асимптотического поведения,
обозначаемые как устойчивый, критический и странный аттракторы. В
устойчивом случае единственным аттрактором для / является устойчивая
периодическая орбита. По теореме Singer [1978] (см. Collet, Eckmann
[1980] и раздел 6.3), может существовать не более одной такой орбиты,
более того, траектория точки с будет асимптотической к этой устойчивой
периодической орбите.
В критическом случае аттрактор является канторовым множеством Л (мера
которого не была определена), содержащим критическую точку с. Хотя в
критическом случае имеется бесконечный аттрактор, Л не обладает
чувствительностью к начальным условиям и положительными показателями
Ляпунова1, присущими странному аттрактору. Один из сценариев (но не
единственный) возникновения критического случая связан с пределом
