Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
стороны от f(p).
Как доказал Williams, вышеприведенные условия достаточны для
характеристики одномерного аттрактора [Williams, 1967]:
Теорема 5.5.1. Пусть G - некоторый граф, ребра которого в вершине р
разделены на левые и правые так, что оба этих класса непусты, и пусть g:
С! -> G отображение со свойствами'.
5.5. Структурно устойчивые аттракторы
329
(1) д отображает вершины в вершины, а ребра, лежащие по разные стороны от
вершины р, - в ребра по разные стороны от д(р).
(2) д локально взаимно однозначно в точках, не совпадающих с вершинами.
Если д{р) - некоторая вершина и V - некоторая окрестность точки р в G, то
g(V) содержит точки по обе стороны от д{р).
(3) Если I - некоторый интервал в G, то для некоторого п имеем G С дп{1).
Тогда существуют двумерный диффеоморфизм f, обладающий неразложимым
аттрактором А, и окрестность U множества А такие, что G гомеоморфно
B(JJ), a g топологически эквивалентно отображению /: В -> В.
Замечание. Не любой граф можно отобразить на плоскости. Если это можно
сделать так, что каждое ребро будет гладкой кривой, причем ребра по
разные стороны от вершины встречаются в этой вершине тангенциально, то в
качестве / можно взять диффеоморфизм плоскости. Мы приведем некоторые
примеры ниже.
Доказательство теоремы Williams включает в себя обратную предельную
конструкцию, предоставляющую явную модель для А. Начав с отображения g: G
-> G, рассмотрим множество .4бесконечных в обе стороны
последовательностей (... Х-п, . . ., xq, ..., хп, ¦ ¦ ¦), обладающих
свойством g{xi) = Xi+i. Отображение д индуцирует отображение д: As -> As,
определенное формулой g(x) = у, где г/i = g(xi) = Xi+\. (Множество As
можно снабдить естественной топологической структурой при помощи
обратного предела последовательности ... G Д G Д G.) Зная .г,, можно
определить Xj при j > г, но не Xj для всех j < г, поскольку д не взаимно
однозначно. В действительности, существует целое канторово множество
точек из А3, соответствующее каждому х,. Williams [1974] доказал, что
если существует гиперболический аттрактор А для / с окрестностью II
такой, что отображение f:B->B топологически эквивалентно д: G -> G, то /'
| топологически эквивалентно отображению д ш А3. Он также предложил
некоторую топологическую конструкцию /, обладающую этим свойством.
Вышеупомянутая конструкция тесно связана с символической динамикой
гиперболического аттрактора А. Если д: G ¦ G - некоторое отображение
графа, переводящее вершины в вершины и взаимно однозначное на ребрах, то
мы можем пронумеровать ребра символами {1, . . ., п} и составить матрицу
перехода А = [Ду], полагая Ду равным числу точек х, лежащих на г-м ребре,
для которых д{х) = у для каждого у из j-го ребра. Е1одсдвиг конечного
типа Sr с матрицей перехода Д = [Ду] - это множество (обычных)
последовательностей х = {х{\°^а со свойством AXjXi+1 ф О для всех г ^ 0.
Отображение сдвига а определяется так же, как и прежде,
330
Глава 5
однако оно не является взаимно однозначным. Существует символическое
отображение ф: Ег -> G (являющееся взаимно однозначным, исключая
прообразы траекторий вершин), для которого ф о а = / о ф7 как и прежде.
Применяя описанную выше обратную предельную конструкцию к ?г и G, мы
восстановим символическую динамику на А3.
Рис. 5.5.3. Аттрактор Плыкина: (а) круг с тремя отверстиями D и
устойчивое слоение; (b) f(D) С D.
Примеры гиперболических аттракторов для трехмерных отображений известны
уже довольно давно. В частности, в статье Smale [1967] можно найти анализ
соленоида, определенного на трехмерном торе; см. также статью Ruelle,
Takens [1971], посвященную турбулентности, в которой авторы рассмотрели
соленоид при помощи отображения Пуанкаре для квадруполь-но периодического
потока на четырехмерном торе. Однако простейший пример из известных
примеров плоского гиперболического аттрактора предложен Плыкиным [1974].
Небольшая его модификация (см. Newhouse [1980])
5.5. Структурно устойчивые аттракторы
331
G:
D
Рис. 5.5.4. Разветвленное многообразие В и граф G для аттрактора Плыкина.
приведена на рисунке 5.5.3. Возьмем компактное плоское множество D с
тремя отверстиями, как показано на рисунке. Поместим в каждое отверстие
источник и определим /: D -a- R2 геометрически так, чтобы f(D) лежало
внутри D, как показано. Аттрактор определим так: ,1 f~) fn(D).
Далее,
О
можно выбрать такое гладкое устойчивое слоение '~f множества D, что ес-ли
I е , то и f(l) е 3*, как показано. Листы I е SP являются кусками
устойчивых многообразий Ws(xi) точек :г, из А, что и требуется.
Разветвленное многообразие В и граф G, ассоциированные с данной
проблемой, показаны на рис. 5.5.4, а отображение д: G -a- G действует
так:
д- А в,
д: В ^ В + D + С - D - В,
д:С^А,
д: D -> D-С - D.
(5.5.1)
(Заметим, что д переводит вершины в вершины.) Далее, матрица перехода
имеет вид
(5.5.2)
А В С D
А ' 0 1 0 0
В 0 2 1 2
~ С 1 0 0 0
D 0 0 1 2
где, к примеру, Д44 = 2, так как каждая точка на ребре под номером 4 (D)
