Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
где р - центральная точка периода п.
Кто-то может пожелать применить эту теорию к отображению Хенона при
фиксированном \Ь\ е (0,1), показав тем самым существование для этого
случая странных аттракторов. Такой подход можно аргументировать тем, что
данное одномерное отображение дает хорошее приближение для динамики
отображения Хенона вдоль его неустойчивого многообразия и что должны
существовать крупные множества значений параметра а, приводящие к
странным аттракторам. К сожалению, ситуация не столь проста, и одномерная
теория не переносится непосредственно на эту новую ситуацию, так что
существование странных аттракторов для отображения Хенона остается
открытым и трудным вопросом. В главе 6 мы увидим некоторые качественные
различия между бифуркациями одномерных отображений и отображения Хенона.
Пока этот вопрос находится на стадии решения, лишь вера поддерживает нашу
уверенность в том, что орбиты, вычисленные Хеноном, асимптотически
приближаются к некоторому аттрактору, а не, скажем, к притягивающему
множеству, содержащему устойчивые периодические движения сколь угодно
больших периодов с исчезающе малыми областями притяжения.
5.7. Геометрический аттрактор Лоренца
Вопросы, обсуждавшиеся в разделе 5.5 и касающиеся касания устойчивого и
неустойчивого многообразий в аттракторе, не возникают для одного класса
аттракторов, построенного после численных исследований системы Лоренца
(2.3.1). В данном разделе мы рассмотрим эти геометрические примеры при
помощи символической динамики и конструкции обратного предела,
принадлежащей Williams [1967, 1974]. Необычность этих аттракторов состоит
в том, что они содержат (седловое) положение равновесия потока,
5.7. Геометрический аттрактор Лоренца
341
что приводит к разрыву отображения Пуанкаре, используемого для перехода
от непрерывного к дискретному времени. Этот разрыв делает возможным
расходимость близких траекторий без их скручивания или изгибания,
присущих отображению Хенона или сложной топологии в примере Плыкина.
Напомним наше описание системы Лоренца из раздела 2.3. Для значений
параметров а = 10, /3 = 8/3 и р = 28 можно численно наблюдать аттрактор
Лоренца, изображенный на рисунке 2.3.2. Мы дадим геометрическое описание
потока, основанное на анализе отображения возврата F (нелинейного)
"прямоугольника" X, лежащего в плоскости z = р - 1 (рис. 2.3.2).
Противоположные стороны этого прямоугольника проходят через равновесные
точки q~, q+, а внутри X во всех точках имеем z < 0, так что X - сечение
для данного потока. Оба положения равновесия q~ и q+ являются седловыми
точками с одномерными устойчивыми многообразиями Ws(q±), части которых
образуют противоположные стороны сечения X в нашей геометрической модели.
Неустойчивые собственные значения точек q и q+ мнимые. Так как z < 0 во
всех точках внутренности X, то все траектории пересекают X сверху вниз.
Большая их часть обвивается затем вокруг q~ или q+ и возвращается на X,
причем должна существовать граница D, разделяющая траектории,
обвивающиеся вокруг этих двух точек. Предполагается, что эта траектория
лежит на устойчивом многообразии третьего положения равновесия р,
лежащего ниже X (см. рисунок 5.7.1).
Рис. 5.7.1. Поперечное сечение X для геометрической модели уравнений
Лоренца.
342
Глава 5
Для описания геометрического аттрактора Лоренца для потока, изображенного
на рисунке 5.7Л, сделаем четыре дополнительных предположения об этом
потоке. Первое из них состоит в том, что собственные значения Ai, А2, A3
точки р удовлетворяют условию 0 < -Ai < А2 < -A3, где Ai - собственное
значение вдоль оси z, которая считается инвариантной относительно потока.
Второе предположение состоит в том, что в Е существует семейство кривых ,
содержащее D и инвариантное относительно отображения возврата F множества
Е. Это означает, что если 7 С то F(y) также содержится в некотором
элементе §¦ при условии, что F определено на 7 (F не определено на D).
Семейство & является частью сильно устойчивого слоения для потока,
определенного в некоторой окрестности аттрактора (Robinson [1981а]).
Третье наше предположение состоит в том, что все точки из внутренности Е
за вычетом D возвращаются на Е и что отображение возврата F "достаточно"
растягивающее (см. ниже свойство (3)) в направлении, транс-версальном к
семейству кривых &. Наконец, предполагается, что поток симметричен по
отношению к повороту на угол тт вокруг оси z.
Эти "геометрические" предположения для дифференциальных уравнений (2.3.1)
не проверялись, но в принципе их можно проверить численными методами. В
этом направлении достигнут некоторый прогресс (см. Sinai, Vul
[1981], Shub [1982]).
В аналитической форме данные предположения означают, что на Е существует
такая система координат (и, v), что F обладает следующими свойствами:
1) Кривые семейства задаются уравнениями и = const, а множество D -
уравнением и = 0.
2) Существуют функции fug такие, что F имеет вид F(u,v) = = (/(и)> v))
