Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
неустойчивые многообразия отдельных точек.
УПРАЖНЕНИЕ 5.5.1. Пусть и - некоторая окрестность гиперболического
аттрактора AIhIJ Wu(x) - объединение неустойчивых многообразий точек А.
хел
Докажите, что А равно замыканию множества |J Wu(x), как и утверждалось.
х?А
(Подсказка: сначала покажите, что это замыкание является подмножеством А.
Затем рассмотрите поведение точек у 6 U под действием /.)
В вышеприведенном обсуждении предполагалось, что в то время как под
действием / точки вблизи от аттрактора приближаются к нему, их орбиты
локально разбегаются с экспоненциальной скоростью в направлении
расширения. Поскольку гиперболический аттрактор не может содержать
периодических орбит (иначе он не был бы неразложимым), почти все пары
орбит, асимптотических к нему, расходятся и проявляют в конце концов
статистическую независимость, с которой мы уже встречались при
рассмотрении подковы и других примеров. В данном случае, однако, почти
все орбиты никогда не проявляют асимптотически периодического поведения,
хотя они и приближаются к замыканию множества неустойчивых многообразий.
Типичная локальная структура гиперболического аттрактора для двумерных
отображений является произведением некоторой кривой и канторова
множества.
Заметим, что на торах Т2 существуют диффеоморфизмы Аносова /: Т2 -> Т2,
определенные требованием, что весь тор является гиперболическим
аттрактором. Для их изучения Т2 считают фактор-множеством R2 по
целочисленной решетке. Простейшие примеры такого рода определяются при
помощи проекции диффеоморфизмов на В2, задаваемых 2 х 2-матри-цами с
целыми коэффициентами и единичным детерминантом; например, А = (2 ]). Для
таких "линейных" диффеоморфизмов Аносова устойчивое и неустойчивое
многообразия являются проекциями линий, параллельных собственным векторам
А. Все точки Т2 с рациональными координатами периодичны, так как А
сохраняет множество точек, координаты которых - рациональные числа со
знаменателями, делящимися на данное целое чис-
1 Различные понятия размерности, такие как "емкость" и хаусдорфова
размерность, вводятся в связи с описанием странных аттракторов, см. ниже
раздел 5.8.
5.5. Структурно устойчивые аттракторы
327
ло к (см. раздел 1.4, рисунок 1.4.3). Любой диффеоморфизм Аносова на Т2
эквивалентен одному из этих линейных диффеоморфизмов (Franks [1970]).
Теория Williams предоставляет топологическую классификацию одномерных
гиперболических аттракторов и некоторую конструкцию, эквивалентную
следующей символической динамике аттрактора в направлении расширения. Мы
коротко опишем его идеи.
Некоторая окрестность U гиперболического аттрактора А является
объединением участков устойчивых многообразий в точках А. Для двумерного
отображения каждое устойчивое многообразие одномерно, поэтому каждая
компонента есть интервал. Если f{U) С U, то каждая компонента некоторого
устойчивого многообразия из U отображается в некоторую другую такую
компоненту. Мы приходим к выводу, что / индуцирует корректно определенное
отображение / на фактор-пространстве В = B(U), определяемом при помощи
отождествления х,у € U в случае, когда у принадлежит компоненте Ws{x),
содержащей х. Нестрого говоря, мы проектируем вдоль компонент устойчивого
слоения: см. рисунок 5.5.1.
Отображение /: В -> В сохраняет информацию о виде отображения компонент
множества Ws(x) П U в компоненты множества Ws(f(x)) П U.
Ws слоение
часть А
f:U->U/
я(х)
Рис. 5.5.1. Устойчивое слоение В.
328
Глава 5
левое
Р1
правое
О
Рис. 5.5.2. Некоторые разветвленные 1-многообразия с вершинами pi.
Отметим, что ребра встречаются в вершине по касательной (см. замечание
после теоремы 5.5.1).
Очевидно, что отображение / не может быть взаимно однозначным, и фактор-
пространство В = В(U) может иметь определенные патологии. Однако оно
будет одномерным, так как каждый малый сегмент неустойчивого многообразия
взаимно однозначно проектируется в В (рисунок 5.5.1). При подходящем
выборе U (т. е. U имеет гладкую границу с квадратичными точками касания
устойчивых многообразий) и использовании замкнутых окрестностей можно
добиться того, что В будет разветвленным многообразием. Мы не нуждаемся в
использовании всех свойств разветвленных многообразий, довольствуясь тем,
что В гомеоморфно некоторому графу, образованному соединением конечного
числа точек отрезками, называемыми ребрами. Кроме того, ребра,
встречающиеся в некоторой вершине р, можно разбить на два класса, которые
мы назовем правыми и левыми ребрами для р, см. рис. 5.5.2.
Если множество А неразложимо и связно, то отображение /': 11 , 11
обладает тем свойством, что каждый интервал I, содержащийся в В, в
конечном итоге отобразится на В, т. е. найдется п (зависящее от I) такое,
что /"(/) = В. Кроме того, если окрестность U множества А выбрана как
объединение прямоугольников из разбиения Маркова, то / отображает вершины
в вершины. Последнее условие на / состоит в том, что оно отображает
ребра, лежащие по разные стороны от вершины р, в ребра, лежащие по разные
