Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
нулевой нормой увеличивается драматическим образом. Это обнаруживается,
если рассмотреть шпурион-ные состояния, имеющие структуру
\^) = (L_2 + yL2_l)\%), (2.2.44)
где теперь а = 1 и требуется, чтобы Lm]x>=0 при m > 0 и (L0+l)|x>- 0, так
что (L0-1)|'ф>=0. Чтобы |г)з) имело нулевую норму, оно должно быть
физическим и, в частности, должно аннулироваться действием операторов Lm
при m > 0. Так как тот факт, что оно аннулируется операторами Lm при m ^
3, тривиален, нужно ответить только на вопрос: можно ли наложить условия
Li|i|}>= /,2|'ф> = 0, воспользовавшись алгеброй Вирасоро с аномалией
(2.2.32)? Эти условия приведут к уравнениям 3 - 2у = 0 и D/2 - (4 + 6у) =
0, из которых получается, что v = 3/2, a D = 26. Таким образом, при D =
26 (и а - 1) имеется намного больше состояний с нулевой нормой вида
(/._2 + -|/.11)|х). (2.2.45)
В отличие от состояний с нулевой нормой первого бесконечного класса
состояния типа (2.2.45) имеют нулевую норму тогда и только тогда, когда D
= 26.
В качестве первого примера состояния вида (2.2.44) рассмотрим состояние
(l_2 + |-L2-i) | 0; Р>=[4-<*-1 • а-1 + • а-2+Т (р ' "-i)2]l
0; р),
(2.2.46)
2.2. Квантование - старый ковариантный подход
103
где р2 = 2. Норма этого состояния равна (D - 26)/2, которая, как и должно
быть, обращается в нуль при D = 26. Тот факт, что его норма при D < 26
становится отрицательной, не имеет значения, так как в этом случае оно не
удовлетворяет условиям физического состояния.
Физические состояния с отрицательной нормой можно построить при D > 26.
Примером может служить состояние вида
I Ф> = [cia_i • a_i + с2р • а_2 + с3(р ¦ a_j)2] | 0; р), (2.2.47)
где р2 = -2, так что (L0 - 1) | <р> = 0. Такие состояния удовлетворяют
условиям Li[<p>=L2|(p>=0 при
__ D - 1 __ D 4 /о о ло\
с2=с,-g- И Сз = С| -. (2.2.48)
В этом случае их норма
(ф|ф) = -^(?>-1)(26-?>), (2.2.49)
так что при Z)>26 в физическом спектре обнаруживаются духи.
Общее правило, которое будет доказано позже, заключается в следующем:
свободный от духов спектр получается при а = 1 и D = 26 или при а ^ 1 и D
^ 25. В первом случае имеется большое количество состояний с нулевой
нормой, и физический спектр состоит из стольких распространяющихся мод,
сколько их генерировалось бы 24 наборами a-осцилляторов, тогда как во
втором случае число состояний с нулевой нормой намного меньше и
физический спектр соответствует D-1 набору осцилляторов. Можно сказать,
что при а = 1, D = 26 струна имеет только поперечные возбуждения, а при а
^ 1 и D 25 она обладает и продольными модами. Эти факты обнаружатся,
когда мы будем доказывать теорему об отсутствии духов.
Изучая только свободную теорию в рамках рассматриваемого здесь
формализма, невозможно доказать, что D должно быть равно 26. Причина
этого состоит в том, что если в теории нет духов при Z) = 26, то,
рассматривая подпространство состояний, являющихся основными состояниями
для осцилляторов при ц = 25!), мы воспроизведем физические состояния
теории с D = 25, в которой также не должно быть духов2). Самое большое,
что в рамках данного формализма можно было бы
*) Напомним, что (J. является пространственно-временным индексом,
принимающим значения от 0 до 25.
2) Хотя произвольное усечение на случай с D < 26 не приводит к появлению
духов в древесном приближении, на однопетлевом. уровне возникают
трудности с унитарностью. Именно по этой причине впервые была установлена
необходимость ограничиться размерностью D = 26. л г
104
2. Свободные бозонные струны
покааать на древесном уровне, так это то, что случай D = 26 является
наиболее естественным, а случай D < 26 оказывается произвольным усечением
теории, которая в действительности является теорией в 26 измерениях.
Первым признаком этого является обнаружение дополнительных состояний с
нулевой нормой, которые возникают только при ?> = 26. Эти дополнительные
состояния с нулевой нормой играют совершенно особую роль. Так же как и
продольные моды безмассового векторного мезона, рассмотренные ранее,
состояния с нулевой нормой не должны входить в пространство состояний, в
котором действует
S-матрица, в силу некоторого принципа, аналогичного калибровочной
инвариантности в теории поля. Так что наличие при D = 26 дополнительных
состояний с нулевой нормой говорит о том, что такая теория обладает
расширенной калибровочной инвариантностью и изучение ее может
представлять наибольший интерес. Точно так же существование бесконечного
ряда состояний в случае, когда а в точности равно 1, говорит о том, что
именно этот случай является наиболее интересным. Так что основным
состоянием открытой струны мы в порядке рабочей гипотезы будем считать
тахион с квадратом массы -2, соответствующий выбору а = 1, а первым
возбужденным состоянием - безмассовый векторный мезон. Существование этой
безмассовой калибровочной частицы является одним из аспектов очень
специальных свойств струнной теории в пространстве критической
размерности.
2.2.3. Вершинные операторы
