Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
(пространственноподобными) поляризациями, перпендикулярными к этой
плоскости, имеют положительные нормы. Если, с другой стороны, а таково,
что первое возбужденное состояние является тахионом с k2 > 0, то k можно
выбрать так, чтобы его временная компонента была равна нулю. Тогда ? -
времени-лодобный вектор и имеет отрицательную норму. Если k2 <С 0, то k
можно выбрать так, что только временная компонента будет отличной от
нуля, и ? будет пространственноподобным вектором с положительной нормой.
Наконец, если k2 = 0, то ?, пропорционально k и имеет нулевую норму.
Итак, мы получаем первое условие отсутствия духов
а<1. (2.2.33)
В предельном случае (а = 1) векторная частица является безмассовой, а
скалярное основное состояние является тахионом. В этом случае
дополнительное условие с L\ соответствует кова-риантному калибровочному
условию <9,^4^ = 0 в электродинамике. Как и при ковариантном квантовании
Гупта - Блейлера в электродинамике, из этого условия следует, что имеются
D - 2 состояний с положительной нормой и поперечной поляризацией и одно
состояние с продольной поляризацией ^ = № с нулевой нормой, и нужно еще
показать, что состояния с нулевой нормой не принадлежат пространству, в
котором действует 5-матрица. В теории поля это следует из калибровочной
инвариантности и сохранения тока, в струнной теории этот факт тоже можно
доказать (и мы на самом деле один из подходов уже изложили, когда во
введении обсуждали гравитационные тождества Уорда), но пока еще как
следует непонятно, проявлением какой более глубокой структуры он
является.
"Нулевое" состояние, соответствующее первому возбужденному уровню,
которое возникло при а = 1, является лишь первым в бесконечном наборе
таких состояний. Результат, полученный для первого возбужденного уровня,
можно обобщить следующим образом. Произвольное состояние |ор> мы будем
называть физическим состоянием, если оно удовлетворяет уравнениям связей
Lm | Ф> == 0 при пг > 0 и (Lo- а)|<р)=0. Состояние |г|)>, удовлетворяющее
уравнению (L0 - а)|г(>>=0, будет называться шпурионным состоянием, если
оно ортогонально ко всем физическим состояниям, т. е.
(фI 'Ф) - 0 (2.2.34)
для всех физических состояний |ф>. Шпурионные состояния всегда можно
записать в виде
.1Ф>= I (2.2.35)
п>0
2.2. Квантование - старый ковариантный подход
101
где | х") - некоторое состояние, удовлетворяющее уравнению
(Ц-а + п) |Х*> = 0. (2.2.36)
В действительности бесконечный ряд в (2.2.35) можно оборвать, так как L-n
для п ^ 3 можно представить в виде итерированных коммутаторов от
операторов L-i и L-например, L-з ~ \L-1, L-2]. Так что шпурионное
состояние можно просто записать как
\*) = L-i\Xi) + L-2\X2), (2-2.37)
где |xi> и |ха> удовлетворяют уравнению (2.2.36). Состояния вида (2.2.37)
ортогональны физическим состояниям, так как
<Ф 1 = t <Ф I L.m \%m)=t {lm 1 Lm I Ф>* = 0. (2.2.38)
m =1 m = I
Чтобы убедиться в том, что шпурионное состояние должно иметь вид (2.2.35)
или (2.2.37), заметим, что если | \Jj> - шпурионное состояние, то
оператор 0 = |\|)><i|5| должен аннулировать все физические состояния. Так
как единственное ограничение на физические состояния общего вида состоит
в том, что они должны аннулироваться операторами Lm при m > 0, то
оператор О можно записать в виде
0=ZX_nLn, (2.2.39)
п >0
где Х-п - некоторые операторы. Если вспомнить, что <9 = = | 'ФХ'Ф |, то
из (2.2.39) следует, что состояние | -ф) представимо в виде (2.2.35), где
=
Особая ситуация возникает, когда состояние [if>> и шпурионное, и
физическое, т. е. когда
<ф|ф> = 0, Lm I 'ф) = 0, пг> 0, (L0 - а) | ф> = 0. (2.2.40)
Из (2.2.36) тогда следует, что это состояние имеет нулевую норму, так как
<ФИ>)== I {%m\Lm\*) = 0. (2.2.41)
m> О
Эти состояния ортогональны ко всем физическим состояниям, в том числе и к
самим себе (и иногда называются "нулевыми" физическими состояниями).
Состояния такого типа можно построить, рассмотрев шпури-онные состояния
вида
|^) = L_1|X), (2-2.42)
где [%> - произвольное состояние, удовлетворяющее уравнениям Lmlx)=0 при
т> 0 и (L0 - a+lJlx)^1^- В данном
102
2. Свободные бозонные струны
случае |%> могло бы быть состоянием с нулевым импульсом 10; 0> или,
скажем, любым физическим состоянием со сдвинутым надлежащим образом
импульсом р*1. К тому же состояние будучи шпурионным, удовлетворяет также
всем условиям, физического состояния, кроме условия, содержащего L\.
Действие оператора L\ на |ij}> приводит к состоянию
L1K) = L1L_1|x) = 2L0IX>, (2.2.43)
которое обращается в нуль, если а = 1. В этом случае состояния |ф>
являются и шпурионными, и физическими и, следовательно, в соответствии с
нашими общими утверждениями имеют нулевую норму. Очевидно, что, действуя
таким образом оператором L_! на произвольное состояние |х>, можно
получить бесконечное число состояний нулевой нормы. Самым простым
примером является как раз рассмотренное ранее безмассовое векторное
состояние, когда |%> = |0; k).
Однако в случае пространства-времени D = 26 измерений число состояний с
