Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
оператора Y отличаются от выражений вида (2.2.66) только на полную
производную, которая соответствует испусканию состояний с нулевой нормой.
Остающаяся поляризация соответствует случаю r])_l = ?)i. Когда D = 26,
это также не приводит к новым вершинам, описывающим испускание физических
частиц, так как соответствует линейной комбинации испускания состояния
вида (2.2.66) и состояния нулевой
нормы (L-2 + | 0; k). Поэтому с учетом всего вышеизло-
женного на втором возбужденном массовом уровне в 26-мерии единственным
подходящим вершинным оператором открытой
112
2. Свободные бозонные струны
струны является оператор (2.2.66), описывающий испускание или поглощение
массивной частицы "спина два", т. е. частицы, поле которой преобразуется
как бесследовый тензор второго ранга группы SO (25).
2.3. Квантование в калибровке светового конуса
В разд. 2.2 рассматривалось квантование свободных бозонных струн в
ковариантной калибровке /iap=Tiap, когда в качестве дополнительных
условий на физические состояния накладываются условия Вирасоро. Однако,
как мы уже отмечали, после наложения условия /гар = г]ар все еще имеется
остаточная калибровочная симметрия, которой можно воспользоваться для
последующих выборов специальных калибровок. Выбрав особую нековариантную
калибровку, фактически можно разрешить уравнения связей Вирасоро и
сформулировать теорию в фоковом пространстве, построенном только для
физических степеней свободы. Этот формализм, в чем-то аналогичный
формализму с унитарной калибровкой в спонтанно нарушенных калибровочных
теориях, впервые был развит Годдаром, Голд-стоуном, Ребби и Торном в 1973
г.
Формализм светового конуса, хотя и не является явно ко-вариантным,
очевидным образом свободен от духов. Доказав его эквивалентность
ковариантному формализму, который явно ковариантен, но очевидным образом
содержит духи, мы получим доказательство теоремы об отсутствии д>хов.
Формализм светового конуса следует здесь рассмотреть еще и по многим
другим причинам. Исторически именно в рамках квантования в калибровке
светового конуса впервые было окончательно установлено, что дуальные
модели являются теориями струн. Картина, основанная на формализме
светового конуса, очень "физична", и в его рамках можно провести многие
вычисления и понять необходимость выбора а = 1 и D = 26.
2.3.1. Калибровка светового конуса и алгебра группы Лоренца
Напомним, что в ковариантной калибровке /гар=т]а|} координаты струны, на
которую наложены граничные условия открытой струны, разлагаются по модам
в виде
^(сг, т) = х^ + + г У*. ~~ dne~inx cos па (2.3.1)
п =? О
и удовлетворяют вспомогательным условиям Вирасоро 7'+ + = = Т____= 0.
Кроме того, из (2.1.44) и (2.1.45) следовало, что
2.3. Квантование в калибровке светового конуса
113
в этом случае имеется еще остаточная калибровочная симметрия. Мы хотим
воспользоваться этой остаточной симметрией, чтобы наложить дополнительное
калибровочное условие, которое будет нековариантным, но очень удобным.
Начнем с введения пространственно-временных координат на световом конусе:
Х+ = (Х° + X°~l)f^2, Х~ = (Х°-Х°-1)/^2. (2.3.2)
Хотя они очень похожи на конусные координаты о*, введенные ранее на
мировой поверхности струны, между этими координатами имеется большая
разница. В пространстве-времени у нас имеется всего D координат, и в
формулах (2.3.2) мы выделили две из них, а именно Х° и Х^-1, произвольным
и нековариантным образом. На мировой поверхности же с самого начала
имеются только две координаты, и в определении о± нет какого-либо
произвола. В координатной системе, в которой D-простран-ственно-
временными координатами являются и остальные (поперечные)
пространственно-временные координаты Х', i - = 1, ..., D - 2, ненулевые
компоненты метрики Минковского суть г]// = 1, г}-+ - г}-+ = -1. В этих
координатах компонентами вектора V>*¦ являются
V± = ~=(V°±VD~I) (2.3.3)
и V1, i~ 1, ..., D - 2. Скалярное произведение двух векторов запишется в
виде
V ¦W = ViWi -V+W~ -V~W + . (2.3.4)
Поднятие и опускание индексов осуществляется в соответствии с правилами
V+ = -V-, V~ = -V+ и V1- Vi.
Какого упрощения можно достичь, если воспользоваться остаточной
калибровочной симметрией? В терминах а± остаточная инвариантность
соответствует возможности осуществлять произвольные репараметризации
а+-*5+(ст+), а--*а~(ст~). (2.3.5)
Для замкнутых струн о+ и о- преобразуются независимо, тогда как для
открытых струн они связаны граничными условиями. В этом случае параметры
г=(1/2) (ст++ст-) и а=( 1/2) (ст+-ст_) преобразуются в
т = ~ [ст+ (т + а) + ст~ (т - от)],
, (2.3.6)
ст = у[а+(т+ст) - ст (т - а)].
114
2. Свободные бозонные струны
Из первого уравнения в (2.3.6) следует, что % может быть произвольным
решением свободного безмассового волнового уравнения
(•Jr-lr)i = 0.
С другой стороны, если % выбран, параметр а в (2.3.6) полностью определен
(за исключением возможности сделать постоянные сдвиги параметра а в
случае замкнутых струн). Какой способ является единственным для выбора
