Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
где А(т) - зависящее от т с-число. Такая обобщенная алгебра известна как
центральное расширение алгебры Вирасоро; с-чис-ловой член называется
аномальным числом этой алгебры. Из формулы (2.2.26) очевидно, что А(т) =
-А(-т) и Л(0) = 0, так что достаточно определить А (т) только для
положительных т.
98
2. Свободные бозонные струны
Непосредственно вычислить А (т), исследуя нормальное упорядочение в двух
бесконечных суммах в (2.1.84), неожиданно оказывается сложной задачей.
Более простым и полезным является следующий способ. Используя тождество
Якоби 0 = = [Lk, [Ln, Lm] ] + [Ln, [Lm, Lk] J + [Lm, [Lk, Ln] ], мы
получаем для k + n + tn = 0, что
(n - m) A (k) + (tn - k) A (n) + (k - n) A (tn) = 0. (2.2.27)
Положив в (2.2.27) k=\, мы приходим к формуле
А{п+1)=(П+-)Л +-'-А(1) ¦ (2.2.28)
Это рекуррентное соотношение достаточно для определения всех величин А(п)
через Л(1) и Л (2), так что общий вид А(п) определяется через два
неизвестных коэффициента. Фактически общим решением является
A (tn) = c3m3 + с{т, (2.2.29)
где с 1 и с3 суть константы. Можно, конечно, проверить, что эта формула
удовлетворяет уравнению (2.2.27). Константу с i можно изменить, сдвигая
определение La на константу (операция, которая никак не нарушит алгебру
Вирасоро). Сдвиг оператора Z-o на константу привел бы к сдвигу на
константу а в формуле (2.2.15), так что инвариантный смысл имеет только
связь между а и сь
Коммутатор от операторов Lm и L_m должен быть вычислен очень тщательно,
чтобы правильно получить вклад аномалии.
Самый простой и надежный способ определить cj и с3 - вычис-
лить среднее от [Lm, L~m] по надлежащему состоянию. Удобнее всего в
качестве такого состояния выбрать основное состояние осциллятора |0; 0) с
- 0. Для т = 1 мы получаем
<0; 0|[1" 1_,]|0; 0) = 0, (2.2.30)
¦гак как каждый член в или L_i аннулирует основное состояние с
нулевым импульсом. Но для т - 2 находим
<0; 0| [L2, L_2] 1 0; 0) = <0; 01 L2L_210; 0) =
= -j-(0; 0| а, • а!а_! • a_i | 0; 0) (2.2.31)
= т v <°>01 а1а-11 °: °>=т =т D-
Это уже достаточная информация для определения ci и с3, из которой
следует, что
A(m) = ^D(m3-m). _ (2.2.32)
Заметим, что структура алгебры Вирасоро и аномалии та-
2.2. Квантование - старый ковариантный подход
99
кова, что операторы L\, Lq и L-1 генерируют замкнутую подалгебру без
аномалии, изоморфную SU{1, 1) или SL(2,R).
Проведем теперь предварительное исследование условий, обеспечивающих
отсутствие физических состояний с отрицательной нормой. В результате мы
получим, что состояния с отрицательной нормой имеются, когда параметр а и
размерность пространства-времени D принимают значения в определенных
областях, и отсутствуют в противном случае. Чтобы выделить области
значений параметров а и D, при которых в физическом гильбертовом
пространстве нет состояний с отрицательной нормой, очень полезно
рассмотреть состояния с нулевой нормой. Если менять значения параметров а
и D так, чтобы они переходили из области значений, при которых физическое
гильбертово пространство является положительно полуопределенным,. в
область значений, при которых оно содержит состояния с отрицательной
нормой, то значениям на границе этих двух областей всегда соответствуют
ситуации с дополнительными физическими состояниями нулевой нормы.
Оказывается (по причинам, которые мы в дальнейшем обсудим), что эти
дополнительные физические состояния нулевой нормы связаны с важными
физическими принципами и что самым интересным является "критический"
случай, когда физическое гильбертово пространство таково, что вот-вот
начнут появляться духовые состояния.
Мы приведем обсуждение для открытых струн, но ситуация с замкнутыми
струнами почти тождественна, только число ct-осцилляторов и условий
Вирасоро в два раза больше. В самом деле, п-й массовый уровень замкнутой
струны может быть выражен в виде тензорного произведения гильбертова
пространства физических состояний, построенных с помощью осцилляторов,
движущихся вправо, на гильбертово пространство физических состояний,
построенных с помощью осцилляторов, движущихся влево, если игнорировать
связь (2.2.18). Левые и правые физические пространства эквивалентны
физическому пространству открытой струны, так что мы можем также искать
состояния с отрицательной нормой и в этом случае.
Обозначим основное состояние открытой струны с импульсом k" через |0;?>.
Из условий массовой поверхности Lq-а следует, что a/k2 = а. Рассмотрим
теперь состояния первого возбужденного уровня. Они определяются как
состояния вида t;-a_i|0;&>, где ?•*(?)- вектор поляризации, имеющий до
учета калибровочных связей D независимых компонент. Условие массовой
поверхности приводит теперь к равенству a'k2 = a-1, а из дополнительного
условия с L\ следует, что ?•& = (). Это условие оставляет D- 1 допустимую
поляризацию. Норма этих состояний определяется произведением Если мы
выберем
100
2. Свободные бозонные струны
вектор k лежащим в плоскости (0, 1), то (D - 2) состояний с
