Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
Как уже отмечалось во введении, в качестве основного взаимодействия
открытых струн можно рассматривать процесс, в котором одна струна
расщепляется на две или, наоборот, две струны сливаются в одну. Вообще
говоря, мы можем рассмотреть струнное взаимодействие, изображенное на
рис. 2.4, а, когда все три участвующие во взаимодействии струны лежат вне
массовой поверхности. Однако больший интерес представляет случай,
проиллюстрированный на рис. 2.4, Ь, когда одно из трех струнных состояний
является физическим состоянием на массовой поверхности. На этом рисунке
схематически изображен процесс 1-"-1/ + 2, в котором струнное состояние 2
является собственным состоянием массового оператора. Состояния 1 и У
могут быть, а могут и не быть собственными состояниями этого оператора.
Само понятие собственного состояния массового оператора является
квантовомеханическим, а не классическим понятием, и если во всех формулах
восстановить константу Планка, то ширина собственного состояния массового
оператора
2.2. Квантование - старый ковариантный подход
105
и квадрат соответствующей массы будут порядка й. Следовательно, в
классическом пределе собственное состояние массового оператора струны в
некотором смысле аналогично состоянию точечной частицы. В переходе 1->Г с
испусканием струны в состоянии 2 на массовой поверхности квантовое
состояние Г должно быть связано с квантовым состоянием 1 некоторым
линейным преобразованием, зависящим от струнного состояния 2,- линейным,
так как мы рассматриваем квантовую механику. Если состояние 2 подобно
состоянию точечной частицы, естественно предположить, что струнное
состояние Г получается из
Рис. 2.4. Когда одна открытая струна расщепляется на две, как в случае
а), все из них могут, вообще говоря, быть вне массовой поверхности. Если
одна из струн в конечном состоянии находится на массовой поверхности, как
в чае Ь), то она имеет ширину порядка Й и является в некотором смысле
точечноподобной.
струнного состояния 1 действием локального оператора на конце струны, где
возникло состояние 2. Этот локальный оператор обычно обозначается V2 и
называется вершинным оператором, приводящим к испусканию струны в
состоянии 2 на массовой поверхности. Эти эвристические доводы позволяют
предположить, что с каждым физическим состоянием | ср> на массовой
поверхности нужно связывать вершинный оператор Уф с соответствующими
свойствами. Подобные доводы, но несколько в другом аспекте, приводились в
гл. 1. Здесь мы обсуждаем вершинные операторы не с целью анализа
взаимодействий струн, которые будут рассматриваться в последующих главах,
а для того, чтобы развить технику, позволяющую анализировать спектр
физических состояний. Это обсуждение будет хорошим дополнением к тому, о
чем говорилось в гл. 1. Для наших целей будет достаточным сосредоточить
внимание только на открытых струнах, хотя вершинные операторы несомненно
столь же важны и в теории замкнутых струн.
Рассмотрим локальный оператор А(а,х) в гильбертовом пространстве
состояний открытой струны. Чтобы посмотреть, как
а)
1
106
2. Свободные бозонные струны
действует этот оператор на концах струны, положим а = 0 (или сг = я) и
будем для краткости вместо А (0, х) писать Л(х). Так как оператор Lo- а
является струнным гамильтонианом, мы имеем
А (т) = eixUA (0) e~ixL". (2.2.50)
Нас интересуют операторы Л(х), которые преобразуются в себя же, если
генераторы преобразований принадлежат алгебре Ви-расоро. Считается, что
оператор А (т) имеет конформную размерность J, если и только если при
произвольной замене переменных т -х' (т) он преобразуется следующим
образом:
= А^- (2-2-51> Определение, выраженное формулой (2.2.51), эквивалентно
определению, использованному в разд. 1.4.5 (и в сноске в. разд. 1.5.2),
где размерность оператора устанавливалась из соответствующей двухточечной
функции. В случае инфинитези-мального преобразования
т -> т' = т +.е (т) (2.2.52)
закон преобразования поля конформной размерности J имеет, таким образом,
следующий вид:
ЬА(т) = -е~~1А^. (2.2.53)
Преобразования (2.2.52) с г - -ieimx генерируются операторами Lm, поэтому
условие того, что оператор А имеет размерность ], можно записать и так:
[Lm, Л(т)] = е"(tm)(-/-^ +ml) Л (т). (2.2.54)
Если оператор Л (т) представлен в виде разложения в ряд Фурье
оо
А( т)= I Ame~imx, (2.2.55)
m = - оо
то это условие переписывается в виде условия для мод Фурье [Lm, Ап] =
[m(J - 1) п] Ат+п. (2.2.56)
Легко проверить, что это условие согласуется с коммутационными
соотношениями алгебры Вирасоро и тождеством Якоби. В соответствии с этим
определением координата струны Z^(x), например, имеет размерность / = 0,
а оператор импульса ^(т) имеет J=l. (Позже, когда будут обсуждаться духи
Фаддеева -
2.2. Квантование - старый ковариантный подход
107
Попова, мы увидим, что духовая координата с имеет / = -1, а антидух Ъ
имеет 1 = 2.) Про операторы, которые преобразуются в соответствии с
(2.2.54) с некоторым определенным /, говорят, что они имеют определенную
