Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
решения т свободного безмассового волнового уравнения? С этим уравнением
мы ранее уже несомненно встречались; именно такому уравнению (в
конформной калибровке) удовлетворяют пространственно-временные координаты
Х^(а, т). Таким образом, наша калибровочная свобода в точности
соответствует тому факту, что при желании можно сделать такую
репараметризацию, чтобы т был равен одной из компонент вектора
XКалибровка светового конуса соответствует выбору т = Х+/р+ -)- const.
Обычно это выражается утверждением о том, что в калибровке светового
конуса
Х+(а, %) = х+ + р+%. (2.3.8)
В классическом описании это сооответствует тому, что все
осцилляторные коэффициенты а+ при пф 0 берутся равными нулю. Компонента
Х+ координат струны соответствует временной координате, как это видно
в системе отсчета, в которой
струна движется с бесконечным импульсом. Этот выбор калиб-
ровки имеет то принципиальное преимущество, что каждая точка на струне
берется при одном и том же значении времени (так как Х+ не зависит от а).
После фиксации Х+(а, т) в соответствии с (2.3.8) условия Вирасоро (Х±^')2
= 0 принимают вид
(Х~ ± Х'~) = (Xг ± Х"?/2р+. (2.3.9)
Это уравнение можно решить и выразить Х~ через Х' (с неизвестной
постоянной интегрирования), так что фактически в калибровке светового
конуса компоненты Z+ и Х~ можно исключить, оставляя только поперечные
осцилляторы X1. Вспоминая разложение по модам компоненты Х~,
Х~ = х~ + р~т + i ^ Д- a~e~inx cos па, (2.3.10)
п Ф 0
2.3. Квантование в калибровке светового конуса
115
можно убедиться в том, что явным решением уравнения (2.3.9) является
(D-2 оо \
т? (2.3.11)
i-\ m = - оо /
где мы ввели, как и в случае ковариантного рассмотрения, неизвестную
постоянную а, возникающую из-за нормального упорядочения в а~. В
калибровке светового конуса отождествление оператора а~ с оператором р~
является условием массовой поверхности. Действительно, при п = 0 формула
(2.3.11) переписывается в виде
М2 = (2р+р~ - рУ) = 2(М- а), (2.3.12)
где
со
^ = 2>:х- (2-3.13)
п - 1
Полученное условие является тем же самым условием массовой поверхности,
которое было получено при ковариантном квантовании, за тем лишь
исключением, что теперь только поперечные осцилляторы дают вклад в N.
Величины р+а~ удовлетворяют алгебре Вирасоро
[р+а-, р+а-] = (т - п) р+а~+п + (т3 - т) + 2am] 6т+".
(2.3.14)
Проведенное вычисление в точности аналогично вычислению соотношений
алгебры Вирасоро в формализме ковариантного квантования.
Поэтому эти формулы являются основными при квантовании на световом
конусе. Теперь мы хотим выяснить, является ли теория действительно
лоренц-инвариантной в этой калибровке. Можно наивно предположить, что она
должна быть таковой, так как вроде бы мы получили ее фиксацией калибровки
из исходной лоренц-инвариантной теории.'Если с теорией не все
благополучно при некоторых значениях а и D, то это будет проявляться в
отсутствии лоренц-инвариантности в калибровке светового конуса, где она
не содержится явно.
В калибровке светового конуса все струнные возбуждения генерируются-
поперечными осцилляторами а1п. Так, например, первым возбужденным
состоянием является состояние a'JO; р), преобразующееся по векторному (с
D - 2 компонентами) представлению группы вращений поперечных осцилляторов
SO(D - 2). В общем случае при преобразованиях из группы
116
2. Свободные бозонные струны
Лоренца поперечно поляризованный вектор приобретает продольные
компоненты, если только он не описывает безмассовую частицу. Это является
Констанцией того хорошо известного факта, что "спин" массивной частицы
фиксируется неприводимыми представлениями группы SO(D-1), тогда как
безмассо-вая частица соответствует неприводимому представлению группы
SO(D - 2). (В случае фермионов нужно использовать накрывающие группы
spin(Z)-1) и spin(Z) - 2).) Таким образом, становится понятным, что выбор
калибровки светового конуса не может привести к лоренц-инвариантной
струнной теории, если только векторное состояние a'LJO; р) не является
состоянием безмассовой частицы, т. е. параметр а должен быть равен 1.
Обратимся теперь к более трудной проблеме: понять, почему необходимо
налагать ограничения на размерность пространства-времени D. Сначала мы
воспользуемся эвристическими соображениями, основанными на только что
полученной информации о том, что для лоренц-инвариантности а должно быть
равно 1. Попробуем непосредственно вычислить константу нормального
упорядочения а. Такая константа появляется в формуле
D -2 оо D-2 оо оо
ТЕ Z ^ I> (2-3..S)
i = 1 П- - СО i = 1 п=- оо п=\
Вторая сумма в (2.3.15) несомненно расходится, и ее нужно регуляризовать.
Одним из методов регуляризации (2.3.15), который используется в
аналогичных проблемах, связанных с нормальным упорядочением в теории
поля, является метод "регуляризации с помощью дзета-функции".
Рассматривается сумма более общего вида:
оо
(2.3.16)
П= 1
При Re s > 1 эта сумма сходится к функции, известной как дзета-функция
