Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Грин М. -> "Теория суперструн. Том 1" -> 45

Теория суперструн. Том 1 - Грин М.

Грин М., Шварц Дж., Виттен Э. Теория суперструн. Том 1 — М.: Мир, 1990. — 518 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyasuperstrunt11990.pdf
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 212 >> Следующая

автоматически нормально упорядочена. Если для вычисления коммутатора [Lm,
V] мы воспользуемся формулой (2.2.61), то получим выражение, не
являющееся нормально упорядоченным. Из бесконечного числа членов,
возникающих при вычислении (по одному для каждого сомножителя в
бесконечном произведении (2.2.59)), некоторое конечное число их возникает
не в нормально упорядоченной форме. В этих специфических членах
понижающие операторы расположены левее повышающих операторов в V и они
определяются формулой
т V
k-am_n,e*(tm)\V(k, X). (2.2.62)
П- 1 /
Нормальное упорядочение этого выражения приводит к вкладу от коммутатора
т
тЦ am-nein\ V (k, т)
П= 1
т
= y Z k2e'mxV (?" т) -
П = 1
= Ymk2eim'cV(k, т). (2.2.63)
Таким образом, мы имеем
[Lm, V(k, т)] = e^(-i-^ + \mk2)v(k, т). (2.2.64)
110
2. Свободные бозонные струны
В результате, сравнивая с (2.2.54), мы устанавливаем, что / = = k2/2. В
гл. 1 мы нашли аномальную размерность оператора exp[i&-X], вычислив его
двухточечную функцию. Было получено, что / = &2/4 для замкнутых струн и J
= k2/2 для вершинного оператора, вставленного на границе открытой струны.
Вполне обнадеживающим выглядит тот факт, что значение J = = k2/2, которое
мы здесь получили с помощью осцилляторных методов, согласуется с
результатом, полученным ранее для открытых струн.
Вершинный оператор Vo(k) является физическим вершинным оператором
конформной размерности /= 1 при условии, что k2 - 2. В этом случае он
действительно является точным вершинным оператором для испускания тахиона
в основном состоянии, квадрат массы которого М2 мы предположительно взяли
равным -2.
Единственный случай, когда для определения V(k, т) не нужно нормального
упорядочения, - это случай k2 = 0; тогда конформная размерность / = 0.
Условие k2 = 0 является правильным для безмассового векторного мезона, но
размерность /==0 является неправильной конформной размерностью для
вершинного оператора. Так как конформная размерность производной dX^/dx
равна единице, можно попытаться проинтерпретировать оператор
Vt(k, т) = ?--g-exP I1'*'*] (2.2.65)
как вершинный оператор, описывающий испускание безмассового мезона с
поляризацией ^(?). В произведении операторов "Q-dX/dx и exp[t?-X] в
(2.2.65) нет сингулярностей на малых расстояниях, поэтому V имеет
размерность /= 1 при условии, что k-Z, = 0. Это ограничение на допустимые
поляризации векторной частицы знакомо нам из электродинамики и возникало
ранее при анализе спектра физических состояний. Его появление здесь
иллюстрирует тот факт, что вершинные операторы конформной размерности
единица находятся во взаимно однозначном соответствии с физическими
состояниями. Вершинные операторы для других состояний спектра имеют более
сложный вид. Для состояния с a'k2 = -п характерен следующий вид
вершинного оператора: :f(X, X, ...) ехр [ik • X]:, где полное число
производных по х составляет п. Но чтобы получить /=1, требуются
дополнительные ограничения.
Вершинные операторы для состояний с нулевой нормой можно описать
следующим образом. Предположим, что W{k, т) является оператором
конформной размерности 0, содержащим множитель :exp[i?-X]:. Тогда
оператор V(k,x)=-idW(k,x)/dx=
2.2. Квантование - старый ковариантный подход
111
= [Lo, W(k, т)] имеет размерность / = 1, в чем читателю следует
убедиться. Если взять оператор (ft, т) = exp [iA*X] с &2 = 0, например,
то оператор V(k, т) будет вершинным оператором для испускания
безмассового векторного мезона с продольной поляризацией С11 = №.
Действительно, вершинные операторы вида F(t) = -idW/dr, где W имеет
размерность 7 = 0, всегда описывают испускание состояний с нулевой
нормой. Рискуя слишком забежать вперед в нашем изложении, мы можем
отметить, что причина, по которой состояния с нулевой нормой отделяются
от остальных состояний, заключается в том, что так как V - полная
производная по т, то компонента с нулевой частотой V0, которая, как и в
(2.2.57), отображает физические состояния снова в физические, обращается
в нуль.
В качестве еще одной иллюстрации рассмотрим вершины, описывающие
испускание частиц, находящихся в состояниях второго возбужденного уровня,
когда a'k2 = -I. Множитель Vo{k) имеет теперь размерность J = -1, и,
следовательно, оператор
PvXpX4 : exp [ik ¦ X] : (2.2.66)
имеет / = 1 при условии, что в операторном произведении (2.2.66) нет
сингулярностей на малых расстояниях. Так будет, если = tr Е; = 0. А это в
точности условия того, чтобы тензор ?|W(?) был тензором поляризации
массивной частицы со спином два, т. е. симметричным бесследовым тензором
группы SO(D-1). Предположим, что на том же массовом уровне можно
построить вершинные операторы Yu, т] = exp [ik -^] для физических
состояний спина единица и поляризации r|u. Однако если = 0, то полная
производная по т
- г|Г(r\-X : eikX :) = (- trj • X + r\ ¦ Xk ¦ X) : eik'x : (2.2.67)
описывает испускание состояний L~\r[-a-\ 10; k) с нулевой нормой и
отвечает D-1 возможной компоненте оператора Y. Поэтому эти компоненты
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 212 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed