Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
обычная угловая переменная, 0 ^ 0 ^ 2л, которую мы будем рассматривать
как переменную, параметризующую окружность S1. Инфинитези-мальное
общекоординатное преобразование окружности 0-"-0 + + а(9) генерировалось
бы оператором Da = ia(Q)d/d&.
Полный базис таких "диффеоморфизмов" окружности образуют операторы
Dn = ie^~. (2.1.86)
Эти операторы, как легко убедиться, удовлетворяют алгебре Вирасоро
(2.1.85). Таким образом, алгебра Вирасоро совпадает с алгеброй
инфинитезимальных диффеоморфизмов окружности S1. Очевидную причину
возникновения алгебры Вирасоро нетрудно понять, если заметить, что,
заменив еш на ?*, а id/dQ на д/да±, что вместо формулы (2.1.86) получим
формулу
2.2. Квантование - старый ковариантный подход
91
(2.1.45) для генераторов остаточной симметрии, которая не устраняется
условием конформной калибровки. Хотя переменные а± в (2.1.45) a priori не
являются угловыми переменными, они становятся таковыми при требовании
выполнения уравнений движения, так как наши разложения по модам открытых
и замкнутых струн содержат ехр (та1) только с целым п.
2.2. Квантование - старый ковариантный подход
Перейдем теперь к квантованию бозонной струнной теории. Это можно сделать
многими различными способами. Если эти способы используются правильно, то
все они эквивалентны. Однако связь между ними совсем нетривиальна, и
каждый способ имеет свои определенные преимущества. Так что желательно со
всеми этими способами ознакомиться. Обычно используются ковариантные
подходы двух типов. Первый из них (и самый старый) основан на описании в
терминах координат только с ограничениями на физическое пространство
Фока, возникающими из-за уравнений связи Вирасоро. Эти ограничения
аналогичны условию Гупта - Блейлера в электродинамике, в которой
классическое уравнение связи = 0 заменяется требова-
нием, чтобы положительно-частотные компоненты соответствующего квантового
оператора аннулировали физическое фотонное состояние. Современный подход
к ковариантному квантованию имеет более глубокую геометрическую основу.
Он состоит во введении духов Фадеева - Попова, симметрии BRST и
соответствующих токов. Эти методы будут рассмотрены в гл. 3.
2.2.1. Коммутационные соотношения и разложение по модам
Накладывая классическое условие фиксации калибровки в разд. 2.1.3, мы
использовали репараметризационную инвариантность и симметрию относительно
вейлевского изменения масштаба, чтобы приравнять метрику /г"р мировой
поверхности к метрике т^ар плоского двумерного пространства Минковского.
В квантовой теории к этой процедуре нужно отнестись более осторожно.
Симметрия вейлевского изменения масштаба ответственна за то, что след
тензора энергии-импульса, полученного варьированием действия по /г"р,
равен нулю. Вообще говоря, квантовая теория приводит к аномалии в следе
тензора Гар. Только при очень специальных обстоятельствах эта аномалия в
квантовой теории пропадает. Исторически в первых попытках просто брали
haр = Tiap, не беспокоясь об аномалиях. Однако последующий затем анализ
показал (после значительных уси-
92
2. Свободные бозонные струны
лий), что удовлетворительная теория возникает, если только на размерность
пространства-времени и на массу основного состояния наложить определенные
требования непротиворечивости. Описанный в разд. 2.3 способ квантования
на световом конусе является очень "физическим" подходом, в котором
начинают с того, что берут /г"р = г|ар, а затем налагают дополнительные
калибровочные условия. Как мы увидим, это приводит к тем же ограничениям
на массы и размерности пространства-времени. В альтернативном
ковариантном подходе, который развивается в гл. 3, ограничения на D и а
интерпретируются как условия устранений аномалий в следе тензора энергии-
импульса.
Начиная с наиболее традиционного подхода, попробуем в квантовой теории
положить ha$=r\a$ и посмотрим, к чему это приведет. Ранее было показано,
что в этой калибровке динамика классической струны описывается действием
5 = - -J- jj d2odaX • даХ (2.2.1)
с дополнительными условиями
(Х±ху = 0, (2.2.2)
соответствующими равенствам Т++ = Т- = 0, и подходящими граничными
условиями открытой или замкнутой струны. Импульсом, сопряженным к
координате является
Рх = ТХ*, (2.2.3)
где т--компонента тока импульсов, введенного в (2.1.62). Стандартный
метод перехода от классической физики к квантовой состоит в замене скобок
Пуассона коммутатором с помощью подстановки
[---]С.п.-^ -?[-¦ •]¦ (2.2.4)
Теперь координату X" можно интерпретировать как квантовый оператор, для
которого вместо соотношения (2.1.52) нужно написать канонические
коммутационные соотношения при равных т:
[# (а, т), Г (o', -с)] = - /б (or - o') тГ, (2.2.5)
[Х"(о, т), Г (o', т)] =[Р$(ог, т), Р$ (o', т)] -0. (2.2.6)
Точно так же соотношения (2.1.53) и (2.1.54) заменяются одновременными
коммутаторами
[**, pv] = /¦rfv,
(2.2.7)
2.2. Квантование - старый ковариантный подход
93
а операторы и подчиняются коммутационным соотношениям
