Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Грин М. -> "Теория суперструн. Том 1" -> 48

Теория суперструн. Том 1 - Грин М.

Грин М., Шварц Дж., Виттен Э. Теория суперструн. Том 1 — М.: Мир, 1990. — 518 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyasuperstrunt11990.pdf
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 212 >> Следующая

Римана ?(s). Дзета-функция имеет единственное аналитическое продолжение в
точку s = -1, где ?(-1) =
оо
=-1/12. Подставляя это "значение" ? п в (2.3.15), мы полу-
П= 1
чаем для константы нормального упорядочения в L0 значение
(2.3.17)
Так как уже известно, что для лоренц-инвариантности константа а должна
быть равна 1, то размерность D должна быть
2.3. Квантование в калибровке светового конуса
ИТ
равна 26. Использованный метод регуляризации с помощью-дзета-функции
может показаться довольно формальным, но в гл. 11 мы получим такой же
ответ, применив более "физический" метод регуляризации энергии нулевых
колебаний.
Из вышеизложенного, хотя может быть и несколько эвристически, следует,
что для лоренц-инвариантности формализма светового конуса требуется,
чтобы D = 26, а а = 1. Теперь мы приведем строгое доказательство того,
что эти условия являются необходимыми и достаточными для лоренц-
инвариантности, проведя систематическое исследование генераторов группы
Лоренца. Их явный вид приводился ранее:
= Г + Е*\
Г = (2.3.18)
оо
п = 1
Ясно, что в калибровке светового конуса эффект лоренцевых преобразований
координат должен быть довольно трудно уловимым, так как сам выбор
калибровки не является лоренц-ин-вариантным. Некоторые из этих
преобразований поворачивают направление "+" в другие направления, поэтому
нужно сделать-репараметризацию (т. е. калибровочное преобразование) в
преобразованной системе, с тем чтобы восстановить калибровочное условие.
Мы будем называть это "компенсирующей" репараметризацией. Преобразования,
меняющие Х+, а следовательно, и калибровочное условие, - это
преобразования, генерируемые /+- и Они потенциально могут приводить к
аномалии; требование отсутствия этой аномалии и налагает ограничения на а
и на D. Остальные лоренцевы генераторы - это те, которые связаны с
поперечными компонентами и которые порождают подгруппу SO(D - 2), т. е.
симметрию формализма на световом конусе.
Рассмотрим сначала общее выражение для инфинитезималь-ного лоренцева
преобразования координат в классической теории, допускающего произвольную
репараметризацию |"(сг, т). Тогда
6Х'Чо, т) = а!Х(ст, т) + Г(ст, т), (2.3.19>
где ?а - одна из репараметризаций, согласованных с калибровочным условием
ha$ = т)ар. Это означает, что удовлетворяет условию (2.1.44). С другой
стороны, мы хотим, чтобы калибро-
118
2. Свободные бозонные струны
вочное условие (2.3.8) преобразовывалось в соответствии с правилом
6Х+ ==aUv + а+р\, ' (2.3.20)
чтобы оно сохранилось в новой координатной системе. Рассматривая
компоненту "+" в (2.3.19) и сравнивая ее с (2.3.20), мы можем определить
вид компенсирующей репараметризации Это приводит к условию
так что
"V Xv + iV - av (xv + p\) = a^xv (x), (2.3.21)
~{xv {x) - Xv {a, t)). (2.3.22)
P
Две компоненты вектора g" связаны соотношением (2.1.44), поэтому
О
д?°
W
дх
(2.3.23)
Подставляя эти (линейные по координатам) выражения для в (2.3.19), мы
получаем вид преобразований Лоренца с учетом нековариантного условия
фиксации калибровки. Важным новым моментом при этом является то, что
преобразования, содержащие di , действуют нелинейно на поперечные
координаты, так как в правой части (2.3.19) имеются члены, квадратичные
по поперечным координатам. В квантовой теории из-за таких билинейных
членов возникают непростые вопросы, связанные с нормальным упорядочением,
что и является потенциальным источником аномалий в алгебре группы
Лоренца.
Поэтому важно проверить, что операторы (2.3.18) действительно являются
генераторами алгебры (2.2.24) группы Лоренца. Большинство коммутаторов
можно сразу же вычислить и проверить, что ответ получается правильным при
любых D. Однако, как уже отмечалось в предыдущем абзаце, преобразования
операторов требуют более осторожного подхода. В частности, коммутатор
[]1~, J*~], который должен обращаться в нуль в лоренц-инвариантной
теории, приводит к аномалии, если только не налагать определенных
ограничений.
В калибровке светового конуса мы имеем Е^+ = Е+^ = 0. С другой стороны,
Е1~ кубичен по поперечным осцилляторам, когда вместо Е'1~ подставляется
его разложение по ап в теории с калибровкой светового конуса. В
результате коммутатор [Jl~, J!~] может содержать члены, в которые входят
произведения четырех или двух осцилляторов. (Так как коммутатор
2.3. Квантование в калибровке светового конуса
11"
//_] преобразуется нетривиальным образом при действии группы вращений
поперечных компонент, просто с-числового члена без осцилляторов быть не
может.) Члены в [J'~, J'~], содержащие четыре осциллятора, те же самые,
что и в классической теории, и они пропадают по той простой причине, что
в этой теории аномалии безусловно отсутствуют. Итак, если аномальный член
и возникает, то он должен быть квадратичным по осцилляторам и в
действительности может быть представлен только в виде
оо
[Г~, J!~] = - -Цг ? Ат (а'_та*т - "), (2.3.24)
^ ' т=\
где коэффициенты Ат являются с-числами.
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 212 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed