Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
и для положительных, и для отрицательных m при надлежащем выборе
упорядочения матричные элементы операторов Lm - абт между парой
физических состояний обращаются в нуль. Чтобы убедиться в этом,
предположим, что [ф> и |%>--два физических состояния, удовлетворяющие
уравнениям (2.2.15) и
(2.2.19). Рассмотрим выражение
<x|LniLng...Lnp[q>>. (2.2.20)
(Если один из сомножителей в (2.2.20) имеет индекс Пк = О, то
соответствующий оператор Lo должен быть заменен на
L0 - а.) Так.как операторы Ln не коммутируют (и мы скоро
найдем квантовую аномалию, которая приводит к с-числовому слагаемому в их
коммутаторах), значение (2.2.20) зависит от того, в каком порядке они
расположены. Однако если все операторы Lnk с положительным п* поместить
вправо, а все операторы Lnk с отрицательными п* - влево, то выражение
(2.2.20)
96
2. Свободные бозонные струны
обратится в нуль в силу условий для физического состояния и свойства
эрмитовости оператора L-m = L^. Это - наикратчайший путь, по которому мы
на квантовом уровне можем прийти к утверждению классической теории о том,
что все величины Ln обращаются в нуль для допустимых классических
движений струны. Аномальные коммутационные соотношения между Ьп делают
невозможным нахождение состояний, которые ими всеми аннулируются.
Операторы углового момента
оо
]^ = x^pv - X1 р* - i'Yj ¦^(avLnan - olna%) (2.2.21)
П = 1
не обладают неоднозначностями, связанными с упорядочением. Эти выражения
были введены в формулах (2.1.67) - (2.1.71). Так как с упорядочением
проблем нет, эти операторы могут быть однозначно интерпретированы как
квантовые операторы. Не так трудно, используя канонические коммутационные
соотношения, доказать, что операторы удовлетворяют соотношениям алгебры
Пуанкаре
[р", /Л] = 0, (2.2.22)
[pH, jw] = - щ№рР + /Tjw>pv> (2.2.23)
[/nv, ур?-] == _ + i-rfPpb + i-rfbjiLo _ jrjiu/vp. (2.2.24)
Действительно, построение генераторов группы Пуанкаре из не-
теровских токов гарантирует на классическом уровне выполнение соотношений
алгебры Пуанкаре (конечно же, когда вместо коммутаторов выписываются
скобки Пуассона), а при проверке этих соотношений в квантовой механике
никаких реальных возможностей для аномалий не возникает. Так как [Ln, /m-
v] = о, то условия, которым подчиняются физические состояния, инварианты
относительно преобразований Лоренца, и можно гарантировать, что
физические состояния образуют лоренцевские муль-типлеты.
2.2.2. Алгебра Вирасоро и физические состояния
Как уже было объяснено, пространство Фока, построенное с помощью
осцилляторов а^(и а^), не является положительно определенным из-за
отрицательности компонент метрики в коммутационных соотношениях для
временных компонент. Однако физические состояния соответствуют
пространству, удовлетворяющему условиям Вирасоро (Lm - abm) |<p> = 0 при
m ^ 0. Так как эти условия находятся во взаимно однозначном соответствии
с времениподобными осцилляторами, то их как раз достаточно
2.2. Квантование - старый ковариантный подход
97
для того, чтобы не выводить за пределы положительно определенного
пространства Фока. Чтобы убедиться в этом, заметим, что Lm ~ р- ат +
члены, квадратичные по осцилляторам. Если бы квадратичные члены
отсутствовали, то условия на Ьп (так как р^ времениподобен, кроме случая
нескольких низших состояний) приводили бы к выпадению времениподобных
мод. Тогда в системе покоя физические состояния генерировались бы
пространственными компонентами осцилляторов. Это показывает, что учет
условий достаточен для отсутствия духов. Однако квадратичные члены играют
важную роль, и истинная ситуация является куда более тонкой и интересной.
Свободный от духов спектр возможен только при определенных значениях
константы связи и размерности пространства-времени D. Для более
тщательного исследования нам необходимо изучить алгебру операторов
Вирасоро.
Мы уже получали вид алгебры Вирасоро в классической теории, а именно
[Lm, Ln\ = {m - n)Lm+n. (2.2.25)
Теперь вычислим всевозможные квантовомеханические поправки, которые могут
появиться в соотношении (2.2.25). Ранее мы получили формулу (2.1.84) в
результате последовательных шагов с соответствующими формулами, которые
остаются справедливыми даже на квантовом уровне. Более того, до тех пор
пока т-\-пфО, процедура, позволившая перейти от (2.1.84) к (2.1.85),
возможна и в квантовой механике, так что при т + -\-пфО (2.1.85) не
модифицируется. При т-\-п = 0 в (2.1.84) в каждой из двух бесконечных
сумм на квантовом уровне имеются бесконечные неоднозначности, связанные с
нормальным упорядочением. Так как каждая из этих двух бесконечных сумм
плохо определена, то сдвигать переменную суммирования в одной из них с
целью перехода к формуле (2.1.85) опасно. С другой стороны, так как
всякая неоднозначность, связанная с нормальным упорядочением, которая
может возникнуть в формуле
(2.1.85) при т-\-п = 0, содержала бы только с-число, мы с гарантией
можем написать, что
[Lm, Ln] = (т - п) Lm+n + А (т) Ьт+п, (2.2.26)
