Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
(1.5.8)
где g - константа взаимодействия. Как и в случае замкнутых струн, формула
(1.5.8) нуждается в некоторой модификации, так как конформное отображение
мировой поверхности на верхнюю полуплоскость не вполне однозначно. Группа
остаточной •симметрии состоит из конформных отображений верхней
полуплоскости в себя. Эти преобразования генерируются соответствующими
преобразованиями 8z = а + bz -f cz2, где z = х-\- jy, а а, Ь и с теперь
должны быть вещественными, чтобы граница верхней полуплоскости
(вещественная ось) отображалась в саму себя. Такие преобразования
образуют группу SL(2,R) вещественных (2X2)-матриц с единичным
детерминантом. Тремя вещественными параметрами этой группы можно
воспользоваться для того, чтобы любым трем переменным интегрирования
приписать определенные значения (в отличие от случая замкнутых струн, где
и групповые параметры, и переменные интегрирования в интегральном
представлении амплитуды рассеяния были комплексными).
1.5.3. Внутренние симметрии открытых струн
Прежде чем попытаться зафиксировать эту остаточную калибровочную
инвариантность, выясним, что же является подходящей областью
интегрирования в интервале по переменной xi в формуле (1.5.8). Для
замкнутых струн имеющаяся репарамет-ризационная инвариантность не
позволяла наложить естественные ограничения на то, куда на мировой
поверхности струны должна быть вставлена внешняя замкнутая струна. Для
открытых струн ситуация иная. М внешних открытых струн изображены на рис.
1.15,6 в некотором порядке, скажем 1,2,3, ...., М. Поворотом мировой
поверхности можно перевести последова-
64
1. Введение
тельность 1,2,3, М в последовательность, скажем,
2,3,4, ..., М, 1, но никакой репараметризацией нельзя перевести
последовательность 1,2,3, ... М в последовательность, скажем, 2, 1,3 ...
М. Так что циклический порядок, в котором появляются внешние струны,
инвариантен относительно репараметризации, и имеет смысл постараться
определить амплитуду,
Щ
Рис. 1.16. Можно предположить, что ориентированная струна имеет "кварк"
на одном конце и "антикварк" на другом, как это изображено на рис. а.
Можно считать, что они преобразуются соответственно по представлениям п и
п группы симметрии U(n). Когда открытые струны соединяются, необходимо,
чтобы заряды кварков и антикварков подбирались так, как это показано на
рис. Ь. Тогда теоретико-групповым множителем, связанным с общей планарной
амплитудой открытой струны, схематически изображенной на
рис. с, является tr(Xj, Я2.....Хм). В более общей струнной диаграмме
(рис. d) аналогичный множитель групповой теории приписан к каждой
компоненте границы.
в которой интеграл в (1.5.8) берется только по значениям переменных Xi,
соответствующим данному циклическому порядку.
Эта возможность связана с некоторыми очень интересными физическими
интерпретациями. В отличие от замкнутой струны открытая струна имеет две
специальные точки, а именно ее концы. Можно предположить, что открытая
струна на своих концах несет "заряды". Например, в случае ориентированных
открытых струн можно считать, что на одном конце струны имеется "кварк",
а на другом - "антикварк". Введем группу симметрии U(n), которая
действует только на эти "кварки" и "антикварки" и не действует на какие-
либо другие степени свободы.
1.5. Другие аспекты струнной теории
65
Постулируем также, что "кварк" и "антикварк" преобразуются по
представлениям п и п группы U (п) соответственно. Когда струны
соединяются, мы требуем, чтобы заряды подбирались так, как это изображено
на рис. 1.16,6. Тензорное произведение п<2)п является присоединенным
представлением группы U(n), так что открытая струна с "кварком" на одном
конце и "антикварком" на другом преобразуется по этому представлению; ее
U (п) квантовых чисел могут быть поэтому установлены заданием генератора
X группы U(n). Конкретно такой генератор - это п X л-матрица А/, г'-й и
/-й индексы которой соответствуют U{ri) состояниям кварка и антикварка
соответственно. Если М внешних струн прикрепляются к диску в циклическом
порядке
1,2,3.....М, то из правила, проиллюстрированного на
рис. 1.16,6, следует, что "антикварковый" индекс каждой внешней струны
должен сворачиваться с "кварковым" индексом следующей внешней струны; это
приводит к тому, что с диаграммой, изображенной на рис. 1.16, с
связывается теоретико-групповой множитель
(Л,)\ (Л2)\ • • • &м)\ = tr (Я,Я2 . . . Хм). (1.5.9)
В более общей ситуации можно рассмотреть произвольную мировую поверхность
струны, граница которой может иметь более одной компоненты, как это
показано на рис. 1.16, d. Для каждой компоненты границы мы рассматриваем
теоретико-групповой множитель tr(AiA2 ... Хм), где произведение берется
по всем открытым струнам, вставленным в компоненту границы. Этот
множитель известен как множитель Чана - Патона. Замкнутые струны не имеют
аналогов множителей Чана - Патона, хотя для таких струн более хитроумным
способом можно выявить наличие группы внутренней симметрии, что мы и
