Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
2.1. Классическая бозонная струна
79
2.1.3. Ковариантная фиксация калибровки и уравнения поля в
классической теории
Двумерный тензор энергии - импульса определяется через вариационную
производную от действия S по двумерной метрике ha$:
т д/л 6ЛаР '
Вычисляя вариационную производную, получаем
Та" = даХ"д$Х" - 1 hrth^'da'XPdyXv. (2.1.25)
Этот тензор автоматически оказывается бесследовым, A"P7'ag=0, из-за
вейлевской симметрии. Из полевого уравнения 6S/6/i"P==0 следует, что
7'ар=0. Если мы определим тензор Оа$=даХ>1дрХ11 и положим G=|detGap|, то
обращение Та$ в нуль приводит к тому, что
Gap = ^afi/2a,p'Ga^, (2.1.26)
G = |A(AaPGap)2, (2.1.27)
и следовательно,
у J d2a д/Л AaPGap = J d2(T д/G, (2.1.28)
2 5
а это в точности совпадает с формулой для действия как площади
области на мировой поверхности, что впервые предложил
Намбу.
Последующий анализ струнной динамики и процедура квантования ускоряются
удачным выбором калибровки. Используя три локальные симметрии (две
репараметризации и вейлевское изменение масштаба), можно так выбрать три
независимых
/ -1 о\
элемента haр, чтобы /гар = Tiop = I ^ ^ I, где т]ар - двумерная
метрика пространства Минковского. (В квантовой теории это требует более
тщательного рассмотрения.) При таком выборе действие упрощается:
S = - Y 5 а2ац^даХ ¦ дрХ. (2.1.29)
Уравнение Эйлера - Лагранжа, выведенное из (2.1.29),- это просто
свободное двумерное волновое уравнение
.. ( дг д2 \ "ц
80
2. Свободные бозонные струны
В случае открытых струн уравнение (2.1.30) необходимо, но не достаточно
для проверки того, что действие (2.1.29) инвариантно относительно
вариации общего вида:
^->^ + 6^. (2.1.31)
Вариация действия (2.1.29) при вариации (2.1.31) содержит объемный член,
пропорциональный левой части уравнения (2.1.30), а также "поверхностный
член"
-Г^т[4бХЧа=л-4б^|а=о]=0. (2Л.32)
Обращение в нуль поверхностного члена приводит к граничному условию для
открытой струны. Для замкнутых струн уравнение (2.1.30) и периодичность
функции X необходимы и достаточны для стационарности действия (2.1.29).
Как обычно в двух измерениях, общее решение безмассового волнового
уравнения может быть записано в виде суммы двух произвольных функций:
Х'1(в) = ХЪ(я-) + Х1(я+), (2.1.33)
где
о~ = т - ст, (2.1.34)
сг+ =т ст. (2.1.35)
Функция Х"(ст~) описывает моды струны, "движущиеся впра-
во", а функция Xl (ст+) - моды, "движущиеся влево". Удобно ввести
"координаты светового конуса" на мировой поверхности <т+ и о~, так как XR
и XL являются функциями только и <т+ соответственно. Производные,
сопряженные к ст*, определяются формулой
д± = \{дх±да), (2.1.36)
так что в координатах светового конуса метрический тензор мировой
поверхности в пространстве Минковского принимает вид
Т1+ -=ti- + = - j, ti+ + =ti-- = 0, (2.1.37)
а компонентами обратного тензора являются т1+- = ц-1L =-2. В соответствии
с этим индексы мировой поверхности опускаются и поднимаются по правилу
{/+ =-2{/_, U~ = -2U+.
Волновое уравнение (2.1.30) должно быть дополнено уравнениями связей Гар
= 0. Обозначая производные по т точками,
2.1. Классическая бозонная струна
81
а по or штрихами, эти уравнения можно записать так:
T\o = Tol = X ¦ X' = 0, (2.1.38)
Той = Тп=±(Х2 + Х'2) = 0. (2.1.39)
Здесь Х-Х', например, является краткой записью для Х^Х'ц.
Если, воспользовавшись стандартными правилами тензорного
анализа, записать тензор энергии-импульса мировой поверхности Tag в
координатной системе о±, то с помощью (2.1.38) и (2.1.39) получится, что
Т+ + =±(Т00+Т01) = д+Х-д+Х (2.1.40)
и
Т__=±-(Т00-Т01) = д_Х-д_Х. (2.1.41)
Поэтому бесследовость тензора энергии - импульса, ha^T^=0, приводит к
равенствам Г+_ = Г_+ = 0. Они эквивалентны равенствам (2.1.39): Too =
Гц. Используя приведенные__________выше формулы, можно установить, что из
уравнений связей Т++ ~ Т_____=0
следуют уравнения
X% = Xl = 0. (2.1.42)
В двумерной квантовой теории поля закон сохранения энергии-импульса в
общем случае принимает вид уравнения д-Т++ +
4-д+Г_+ = 0 вместе с аналогичным уравнением, полученным заменой -
В конформно-инвариантном случае Т+- = 0,
и закон сохранения энергии-импульса сводится к уравнению
д_Т++ = 0. (2.1.43)
Это очень сильное утверждение; оно соответствует утверждению о
существовании бесконечного набора сохраняющихся величин. Пусть f(x+)--
некоторая функция от х+ (так что d-f-0). Тогда из равенства (2.1.13)
следует, что ток fT++ сохраняется, <?_(f7V+) = 0. Точно так же
сохраняется и заряд Qf =
= ^ duf(x+) Т+ + . Так как функция f произвольна, то этот заряд является
бесконечным набором сохраняющихся величин. Это только в двух
пространственно-временных измерениях конформная инвариантность таким
способом приводит к бесконечному набору сохраняющихся величин. К
сохраняющимся величинам, только что нами найденным, относятся и величины,
производные от которых стоят в уравнениях связей (2.1.42). В силу того
что они сохраняются, имеет смысл положить их равными
82
2. Свободные бозонные струны
