Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
индексы свернуты правильным образом. Важным свойством, позволившим в
случае точечной частицы иметь осмысленную физическую интерпретацию, была
возможность выбора калибровки, в которой метрика hap (соответствующая
реперу е) исключается. Теперь в общем случае имеет (п-\-\) (п2) компонент
и существуют п + 1 независимых репараметризованных калибровочных
инвариантностей. Таким образом, если этими
инвариантностями воспользоваться, останутся еще -^п(п~\~ 1)
компонент тензора h. Следовательно, при п > 0 h нельзя исключить просто
за счет репараметризации мировой поверхности. Однако в специальном случае
струны (п= 1) существует еще одна локальная симметрия, которую тоже нужно
учесть. В этом случае возможно локальное вейлевское изменение масштаба
метрики
h4 -> Л (а) Лар, (2.1.12)
при котором
Ул /iap^AT<"+1)_1 У/ГйаР. (2.1.13>
Действие 5 инвариантно относительно этого преобразования при п= 1.
Поэтому в случае струн подсчет показывает, что с помощью этой
дополнительной симметрии по-прежнему можно полностью устранить
зависимость от калибровкой.
2.1. Классическая бозонная струна
77
Вейлевская инвариантность или по крайней мере способность выбором
калибровки устранить зависимость от тензора играют центральную роль в
физике струн. Это одно из тех свойств, которое отличают струны от других
объектов, например мембран. С мембранами и объектами еще более высокой
размерности связана другая животрепещущая проблема, заключающаяся в
следующем. Формула (2.1.11) определяет (п+1)-мерную квантовую теорию
поля, которая, если воспользоваться подсчетом степеней, перенормируема
при п=1 и неперенорми-руема при п > 1. Придать при п> 1 смысл действию
(2.1.11) как действию квантовой теории поля так же трудно, как и придать
смысл общей теории относительности как квантовой теории. Поэтому мембраны
или другие объекты более высокой размерности навряд ли могут
рассматриваться как многообещающие для построения квантовой теории
гравитации.
Далее мы будем рассматривать только струны (п = 1). Параметр Т имеет
размерность (длина)'2 или (масса)2 и может отождествляться с натяжением
струны. Он оказывается связанным с универсальным параметром наклона
реджевской траектории (для открытых струн) соотношением
Т = { 2ла')~1- (2.1.14)
Это будет установлено после квантования действия (2.1.11) и определения
получающегося спектра.
2.1.2. Свободная струна в пространстве Минковского
Хотя формула (2.1.11) определяет действие для струны, распространяющейся
в пространственно-временном многообразии общего вида, в данной главе мы
сосредоточим наше внимание на случае плоского пространства Минковского.
Ясное понимание этой ситуации является необходимой отправной точкой для
последующих обобщений. Формула (2.1.11) в случае плоского пространства
Минковского сводится к формуле
S = -~ J d2o й"р (о) (2.1.15)
м
В качестве области, в которой изменяется координата а, можно для удобства
выбрать область 0 ^ а ^ л. Даже в плоском пространстве к действию
(2.1.15) могут быть добавлены дополнительные члены. Эти возможные члены,
удовлетворяющие D-мерной пуанкаре-инвариантности и перенормируемости,
основанной на подсчете степеней, в двумерной теории имеют вид
5, = Л^ол/Л
(2.1.16)
78
2. Свободные бозонные струны
И
s2=~\d2a^h R{2){h). (2.1.17)
Первое выражение, Sb является двумерной "космологической постоянной". Оно
не обладает вейлевской симметрией действия S и поэтому приводит к
противоречивым классическим полевым уравнениям. В частности, взятие следа
от уравнения для метрики ha.fi, полученного из действия S + Si, приводит
к равенству ha.0=0, что вряд ли приемлемо если ХфО. В формуле для S2
выражение RW(h) обозначает внутреннюю двумерную скалярную кривизну
мировой поверхности, построенную с помощью метрики /lap. Хотя слагаемое
S2 играет важную роль при изучении взаимодействия струн, здесь оно
несущественно, так как в двумерии комбинация Vh R*2) (h) является полной
производной. Поэтому член S2 не дает вклада в классические полевые
уравнения и неважен для рассматриваемой нами сейчас задачи квантования
свободной струны.
Обратимся теперь к симметриям действия (2.1.15). Оно обладает указанными
ранее локальными симметриями независимо от выбора искривленного фонового
пространства. Это инвариантности относительно репараметризации, т. е.
преобразований, при которых
6Х* = ЪадаХ*, (2.1.18)
6/iaP =lydyha13 - dylahyfi - dyfha\ (2.1.19)
6(VF) = c>aUayF), (2.1.20)
и вейлевского изменения масштаба, когда
б/г"р = А/г"р. (2.1.21)
Кроме того, имеются глобальные симметрии, отражающие симметрию
пространства, в котором струна распространяется. Для плоского
пространства Минковского это просто пуанкаре-инва-риантность, т. е.
инвариантность относительно преобразований, при которых
6Х" = c%Xv + Ь* (2.1.22)
и
б/г"Р = 0, (2.1.23)
где a = 'Пр.рЯ? - антисимметричный тензор - метрический тензор
пространства Минковского). Подчеркнем, что ga и Л являются произвольными
(инфинитезимальными) функциями от с", тогда как ац* и - константы.
