Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
лежат на м*ееовой оболочке. Аргумент, который мы только что привели,
1.5. Другие аспекты струнной теории
61
обычно называется аргументом "сократившегося пропагатора" по причине,
которая станет ясной позже, когда мы вновь вернемся к этому вопросу в гл.
7.
Отщепление продольных гравитонов является только одним из условий в общей
теории относительности, которое следует из имеющейся общей
ковариантности. Из общей теории относительности следует, что гравитон с
поляризацией и импульсом ka должен удовлетворять не только условию k2 =
0, но и условиям ^^ = ^ = 0. Каким образом эти дополнительные условия
возникают в струнной теории? Суть дела состоит в том, что, определяя
размерность оператора V =
= ^ (faZpv (дХ'1/даа) (dXvfdaa) elh'x, мы просто прибавили к размерности
оператора ^(дХ^/да*) (дХ^/даа) (равной двум) размерность оператора eik'x
(равную k2/A). В общем случае это было бы неверным. Размерность
произведения Л(а)В(ст) локальных операторов Л и В в одной и той же точке
а не всегда есть сумма размерностей Л и В из-за сингулярностей малых
расстояний в произведении операторов А (а) В (а), которые должны быть
устранены нормальным упорядочением, с тем чтобы определить произведение Л
В. В случае вершинного оператора гравитона, когда Л =t>lLV(dX>1/daa)
(dXv/aa), a B = eik X, оператор А не содержит неоднозначностей, связанных
с нормальным упорядочением (которые не позволили бы ему иметь вполне
определенную размерность, равную двум), если ?tt = 0, и операторное
произведение свободно от расходимостей, если
= 0. Если эти соотношения выполняются, то ^ d2a АВ -
вполне приемлемый вершинный оператор при условии, что k2 = 0. Если же они
не выполняются, то невозможно для любого k2 построить конформно
инвариантный вершинный оператор. Этот вывод вместе с нашим предыдущим
обсуждением тождеств Уорда показывает, как (в рамках данного формализма)
струнная теория воспроизводит условия, следующие из общей ковариантности
в общей теории относительности.
1.5.2. Открытые струны
Оставим теперь замкнутые струны и посмотрим, как аналогичные идеи можно
применить к открытым струнам. На рис. 1.15 мы изобразили три
эквивалентных представления древесной диаграммы, описывающей рассеяние
открытых струн. Особенно удобными являются рис. 1.15, в и с, на которых
мировая поверхность отображена на диск или на верхнюю полуплоскость, а
внешние струны представлены конечными точками на
62
I. Введение
границе. В этом формализме, так как внешняя открытая струна вставляется
только на границу мировой поверхности, то эта
вставка описывается оператором вида V - ^ dx д/h^U(т), где т-
параметр на границе мировой поверхности. Инвариантность оператора V
относительно конформного изменения масштаба метрики hrr ->• e^h-xx теперь
требует, чтобы оператор U (х) имел размерность один (а не два, как для
замкнутых струн). Так же как и в случае замкнутых струн, запишем U = W ¦
eik'x и попытаемся выбрать W в виде полинома по вектору и его
производным. Для частицы с нулевым спином можно взять W= 1;
о)
=>
Рис. 1.15. На рис. а схематически изображена "планарная" мировая
поверхность, соответствующая рассеянию открытых струн. Она может быть
конформно отображена на диск (рис. Ь) или на верхнюю полуплоскость
комплексной плоскости (рис. с). В любом из этих случаев внешние состояния
открытых струн появляются как вставки на границе; на рис. b и с они
обозначены (r).
это приводит к тому, что k2 = 21), так что мы имеем дело с тахионом с
квадратом массы -2. Для частицы со спином единица мы попытаемся положить
W = dX^/dx. Это приводит к требованию &2 = 0, так что мы имеем дело с
безмассовым "фотоном" со спином единица. Другие выборы соответствуют
частицам с положительным квадратом массы.
') Аномальная размерность оператора е ' , вставленного на границу мировой
поверхности открытой струны, может быть определена из пропага-тора,
который мы вычисляем ниже в разд. 1.5.4, и равна ft2/2. Эта размерность в
два раза больше аномальной размерности оператора eik x, рассматриваемого
в качестве вершинного оператора для замкнутой струны и вставляемого на
внутренние точки. Множитель два возникает из-за того, что сингулярность
на малых расстояниях в пропагаторе (о')> в два
раза сильнее, когда точки 0 и а' являются точками на границе, из-за
вклада зеркальных зарядов. Это будет очевидным, когда в разд. 1.5.4 мы
вычислим пропагатор на верхней полуплоскости.
1.5. Другие аспекты струнной теории
63
Вычисление амплитуд рассеяния для открытых струн аналогично проведенному
ранее вычислению амплитуд рассеяния для замкнутых струн. Например, чтобы
вычислить М-точечную функцию для рассеяния тахионов, мировая поверхность
конформно отображается в верхнюю полуплоскость, как это показано на рис.
1.15, с. Представляя тахион с импульсом k вставкой
оо
оператора V (k) = ^ dxeik'x (где х пробегает всю вещественную
- ОО
ось), аналог формул (1.4.6) и (2.4.11) запишем в виде A(ku k2, ..., kM) =
gM~2 ^ dxx dx2 ... dxM(^ Д etki'X{-Xi^j ,
