Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Грин М. -> "Теория суперструн. Том 1" -> 22

Теория суперструн. Том 1 - Грин М.

Грин М., Шварц Дж., Виттен Э. Теория суперструн. Том 1 — М.: Мир, 1990. — 518 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyasuperstrunt11990.pdf
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 212 >> Следующая

S2. В действительности еще удобнее воспользоваться конформной
инвариантностью и сделать стереографическую проекцию сферы на (х, у) -
плоскость R2, как изображено на рис. 1.13. Таким образом, по существу мы
можем взять /г"Р = еч>б"Р (т. е. ds2 = e(r) (dx2 + dy2)), где теперь х и у
- координаты на плоскости. Более того, в силу конформ-
52
1. Введение
ной инвариантности множитель еЧ> выпадает и формула (1.4.4) принимает
более простой вид:
А - км~2 ^ DX (х, у) ехр -
м .м
- {-к \ } Д VAi (kt) = км-2 Щ 1/Л. (кЛ . (1.4.5)
Важным моментом здесь является то, что мы теперь имеем дело со свободной
теорией в плоском двумерном мире, поэтому можно надеяться, что нам
удастся вычислить амплитуду (1.4.5).
При переходе от (1.4.4) к (1.4.5) интеграл по h исчез как-то сам собой.
На самом же деле некоторые тонкости этой процедуры следовало бы отметить.
Прежде всего необходимо спросить, действительно ли конформная
инвариантность, которой мы воспользовались, чтобы убрать <р в величине h
= e^h0, имеет место или же появляется квантовая аномалия. Чтобы ответить
на этот вопрос, важно учесть духи Фаддеева - Попова, возникающие при
выборе калибровки h = evh0. Мы отложим этот технически несколько
громоздкий анализ до гл. 3. Здесь же мы приведем только результат:
конформная инвариантность, а значит, и вывод (1.4.5), имеет место тогда и
только тогда, когда число измерений равно 26.
Более непосредственно нас заботит то, что выбор ds2 = = ev(dx2 + dy2) не
совсем однозначно фиксирует параметризацию. Такой вид h сохраняет
возможность глобальных конформных преобразований мировой поверхности S2.
Легче всего эти конформные преобразования записываются через z = x-\-iy.
В терминах этой комплексной координаты метрика мировой поверхности имеет
вид ds2 = e^dzdz. Если мы заменим координаты, переходя от z к некоторой
аналитической функции w(z), так что dz = (dz/dw)dw, метрика станет равной
ds2 = = e^ldz/dw\2dwdw, что по-прежнему соответствует конформной
калибровке. Это те преобразования координат, которые допускаются выбором
калибровки ds2 = е(r) (dx2 + dy2).
Таким образом, инфинитезимально остаточная калибровочная инвариантность -
это инвариантность относительно преобразований 6z = e(z), где e(z)-
аналитическая функция от г. В действительности е не является произвольной
аналитической функцией от z, а подчиняется сильным ограничениям, причина
которых сейчас будет сформулирована. Хотя мы сделали стереографическую
проекцию на комплексную z-плоскость, мировой поверхностью струны
первоначально была сфера S2, которую можно считать римановой сферой,
состоящей из плоскости Z и "точки на бесконечности". Мы должны
потребовать, чтобы ин-
1.4. Взаимодействия струн
5"
финитезимальное координатное преобразование бz = e(z) не имело полюса в
точке на бесконечности. Анализ удобно провести в терминах новой
координаты z= 1/z, когда точка на бесконечности является обычной точкой,
а именно началом координат, z = 0. Координатное преобразование бz = e(z)
в новой координатной системе принимает вид бz =-6z/z2 =-e(z)/z2. Оно не
сингулярно в точке 5 = 0 тогда и только тогда, когда e(z)/z2 конечно при
z->- оо. Следовательно, функция должна быть квадратичным полиномом;
преобразования остаточной симметрии, не устраняемой выбором конформной
калибровки, ин-финитезимально имеют вид бz = аbzcz2, где а, Ь, с - три
произвольных комплексных параметра. Эти преобразования генерируют группу,
изоморфную группе SL(2,C) комплексных (2X2)-матриц с единичным
детерминантом. Эта подгруппа первоначальной группы репараметризационных
преобразований остается группой инвариантности и после фиксации
калибровки,, которая привела нас к формуле (1.4.5), поэтому мы должны
будем вскоре завершить фиксацию калибровки.
Вычислить амплитуду (1.4.5) в действительности нетрудно* когда все
внешние частицы являются тахионами и V0- ^ d2zeikx. В этом случае формула
(1.4.5) сводится к
где < > означает среднее по отношению к гауссовой мере, определенной, как
показано в (1.4.5), функциональным интегралом для свободного поля. Чтобы
вычислить (1.4.6), напомним стандартную формулу для гауссовых интегралов
(получаемую дополнением показателя экспоненты до полного квадрата)
( ехр | id2zJ^ (z) X* (z)) =
= ехр | ^ d2zd2z'Jil (z) G (z, z') /* (z') j , (1.4.7>
где 7|x(z) - произвольный источник, a G(z,z') - пропагатор свободного
поля Xv. В (1.4.6) мы имеем дело со специальным случаем, когда (z) = kib2
(z - zt). Таким образом, (1.4.6) сводится к
1.4.4. Вычисление амплитуды рассеяния
м
А = пм~2 ^ Д cPzj. Д ехр | ki ¦ k,G (z{, z,) j . (1.4.8)
i-l i<i
54
1. Введение
Из-за нормального упорядочения мы не включили в произведение в (1.4.8)
члены с i = j. Что касается пропагатора в (1.4.8), то он является
функцией Грина двумерного уравнения Лапласа
AzG-(z,*z') = 2nb2(z - z') (1.4.9)
(Az - лапласиан по переменной z). Это уравнение имеет решение
piq-(z-k')
G(z,-z') = - 2л ---------2- = In(n|z - z'l), (1.4.10)
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 212 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed