Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
производным. Например, если Л является тахионом, имеющим спин нуль
относительно 26-мерных преобразований Лоренца, то можно просто взять W-\.
Если же А - гравитон G, то оператор W должен иметь спин два; минимальным
оператором спина два был бы оператор W'a1 - daX]1'daXv, соответствующий
гравитону с поляризацией ^v. Нормальное упорядочение для этого оператора
и других рассматриваемых далее (таких как eik X) будет предполагаться и
не будет указываться явно. Если А - безмассовый дилатон D, спин которого
равен нулю, то необходимо вновь взять оператор с нулевым спином;
минимальным оператором, ортогональным к тахионному оператору, является
оператор Wd ~ да,Х^даХ^.
Операторы Wд, которые мы только что определили, при преобразованиях
Лоренца преобразуются должным образом, но нужно еще рассмотреть
пространственно-временные трансляции. При глобальных преобразованиях Х^^-
Х^ -{-а^, когда положение каждой струны сдвигается на а*\ волновая
функция внешнего состояния с импульсом k** умножается на е1к'а.
Наипростейшим квантовым оператором, который при преобразованиях X^^-Xv- -
f- приобретает такой множитель, является оператор eik'х, поэтому мы
постулируем присутствие этого оператора для испускания или поглощения
струны с импульсом №. Заметим к тому же, что точка, помеченная (r) на рис.
1.10, в которую был вставлен данный вершинный оператор, на поверхности
может появиться где угодно. Учитывая все эти факты, мы приходим к
необходимости определить оператор
VA (k) = J d2a л/h Гл (а, т) eik'x (1.4.3)
для описания испускания или поглощения струнного состояния типа Лис
импульсом №.
1.4.3. Применение вершинных операторов
Как эти операторы используются на практике? Из рис. 1.12 следует, что
амплитуда рассеяния частиц типов Ль Л2, ..., Лм и с импульсами ki,k2,
..., kM должна быть функциональным интегралом в (1 + 1)-мерной квантовой
теории поля, описываю-
50
1. Введение
щим распространение струны со вставками операторов Va• Такая амплитуда
имела бы вид (мы положили Т = 1/я)
А (Ль k\; Л2; &2> • ••> Am, kf/[) = = y.M~2\DX{o, х) Dhap (<т, т)Х
м
Хехр-}-^^ d2a } • Д УЛ. (*?). (1.4.4)
/=i
Здесь к является константой взаимодействия, а символы DXv-и Dha$
обозначают функциональные меры на компактной мировой поверхности струны,
изображенной на рис. 1.11. Мы требуем, чтобы для вычисления древесных
диаграмм поверхность
Рис. 1.12. Представление амплитуды рассеяния М внешних частиц типа Ai,
Л2, .. ., Дм с импульсами klt й2, .. ., kM.
была топологически эквивалентна сфере, однопетлевых диаграмм--тору, а "-
петлевых диаграмм - поверхности с п ручками (часто называемой римановой
поверхностью рода п).
Хотя можно дать строгое обоснование связи формулы
(1.4.4) со струнной диаграммой типа той, что изображена на рис. 1.7,6,
здесь мы этого делать не будем. (Это будет одной из наших задач в
последующих главах, особенно в гл. 11.) Действительно, при первом
знакомстве со струнной теорией читатель может просто считать формулу
(1.4.4) определением того, что должно быть амплитудой рассеяния струн. В
настоящее время мы, конечно, не знаем, какой формализм струнной теории
является более фундаментальным, и в качестве отправной точки
формулировка, связанная с вершинными операторами в (1.4.4)" столь же
хороша, как и любая другая.
1.4. Взаимодействия струн
51
Формула (1.4.4) должна казаться довольно необычной. В ней амплитуда
рассеяния в 26-мерном пространстве-времени выражается через
корреляционную функцию во вспомогательной (1 + 1) -мерной квантовой
теории поля. В соответствии со стандартным формализмом LSZ в квантовой
теории поля корреляционные функции в (1 + 1)-мерной теории поля могут
быть непосредственно связаны с процессом рассеяния в (1 + 1)-мерном мире.
То, что они вместо этого могут интерпретироваться как амплитуды рассеяния
в 26-мерии, является особенностью струнной теории. Это - одно из многих
удивительных и все еще
Рис. 1.13. Стереографическая проекция две-сферы S2 на плоскость.
в значительной степени загадочных соотношений и аналогий между явлениями,
происходящими на мировой поверхности струны и в пространстве времени.
На самом деле вычисление амплитуды по формуле (1.4.4) было бы безнадежной
задачей, если бы не конформная инвариантность, о которой говорилось
ранее. Симметрический (2X2)-тензор h имеет три независимые компоненты.
Репараметризацией мировой поверхности можно исключить две из них. Как уже
раньше отмечалось, локальным выбором параметров а и т можно сделать так,
чтобы h = e^h0, где h0 - любая желаемая метрика на мировой поверхности
струны. Согласно классической теореме Римана, это можно сделать и
глобально в случае, если мировая поверхность является сферой, т. е. для
древесных диаграмм. Мы сейчас сосредоточим наше внимание на этом случае,
с тем чтобы вычислить древесные диаграммы явно.
Только что процитированная теорема утверждает, что выбором параметризации
можно положить h = efh0, где h0, например, стандартная метрика на сфере
