Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
где (л - произвольный параметр инфракрасного обрезания, необходимого для
того, чтобы не иметь проблем с расходимостью в точке <7 = 0 в (1.4.10).
Поэтому из (1.4.8) мы получаем
А=*"~2 Ш ^ П |г' -г/ v -4Л"
к/
где зависящий от ^ множитель включен в неизвестную константу
взаимодействия. (Точнее, зависимость от ц уничтожается аналогичной
зависимостью, возникающей из-за нормального упорядочения, или, другими
словами, из-за членов в (1.4.8), где
i = /.)
Формула (1.4.11) очень близка к нашей конечной формуле для амплитуды
рассеяния. Она выражает М-точечную амплитуду не в виде функционального
интеграла, а в виде интеграла по конечному числу переменных, координатам
zi (t= 1, ..., М) точек, в которых внешние струны входят в мировую
поверхность. Однако интеграл (1.4.11) бесконечен. Причина этой
бесконечности заключается в том, что как уже ранее отмечалось, фиксация
калибровки, которую мы использовали для вывода
(1.4.11), не полностью устраняет репараметризационную инвариантность, а
сохраняет симметрию относительно преобразований 8z = а + bz + z2, где z =
х + iy. Из-за того что остаточную инвариантность нам устранить не
удалось, интеграл в (1.4.11) содержит в себе интеграл по бесконечному
объему группы SL(2,C). Фиксация оставшейся калибровочной инвариантности
осуществляется просто. Тремя комплексными параметрами группы SL(2,C)
можно воспользоваться, чтобы трем переменным z; придать любые желаемые
значения. Удобно (и общепринято) выбрать их так, чтобы zi = 0, гг=1,
= оо. В пределе, когда
z3->oo, члены | z3 - zs |*з-*//2 в (1.4.11) можно отбросить. Это можно
сделать по той причине, что при |гз|->оо эти члены становятся
независимыми от z/ для \ФЪ, а также от импульсов, так как (с учетом
закона сохранения импульса)
П I 23 |*3'*//2 = | z3 Г*з/2 _ | 23 |щ2/2 , (1.4.12)
1ФЗ
1.4. Взаимодействия струн
55
где m - квадрат массы основного состояния. (Как мы вскоре увидим,
инвариантность относительно группы SL(2, С) требует, чтобы пг2 = -8.) Мы
просто отбросим этот множитель, так как он не зависит от внешних
импульсов, точнее, он сокращается с минидетерминантом Фаддеева - Попова,
который возникает при фиксации SL (2, С) -калибровки. Таким образом,
амплитуда рассеяния сводится к
М m
л - Ш 21 П1 г1 ^""211 " 2< lVV! X
1 = 4 i = 4
X П |2l-2/lV*//2- (1-4.13)
4 < i < / < М
Для четырехточечной функции она принимает вид
А = к J d2Zi\z4\kl'k,l2\ l-z4\k2'ktl\ (1.4.14)
Эта четырехточечная функция была впервые введена Вирасоро и обобщена
Шапиро на случай ЛГ-точечной амплитуды.
1.4.5. Масса гравитона
Читатель немедленно заметит, что амплитуда (1.4.14) не
является явно кроссингсимметричной, т. е. она не обладает никакой явной
симметрией относительно перестановок импульсов k\, ..., ki. Можно
проверить вручную, что (1.4.14) кроссинг-симметрична тогда и только
тогда, когда все импульсы внешних тахионных линий лежат на массовой
оболочке, Щ = 8, / = 1, .. ., 4. Это один из способов определения
массы тахиона,
и он приводит к тому же ответу, что и квантование струнного
действия, которое мы изложили ранее. Более удовлетворительный способ
понять этот важный момент - это заметить, что выражение для амплитуды
(1.4.8), хотя и неприемлемо, так как оно содержит нежелательное
интегрирование по многообразию группы SL(2, С), явно кроссинг-
симметрично. Существенным шагом при переходе от (1.4.8) к (1.4.14) была
фиксация калибровки SL{2, С), и амплитуда (1.4.8) будет кроссинг-
симметрична, если эта SL(2, С)-симметрия действительно имеет место. Чтобы
убедиться в кроссинг-симметричности (1.4.14), мы должны быть уверены, что
(по крайней мере на этом уровне) в SL (2, С) -инвариантности нет никакой
аномалии.
Один из аспектов SL (2, С) -симметрии проявляется в том,
что проинтегрированный вершинный оператор V = \ d2oeik'Xia>
56
1. Введение
должен быть SL (2, С) -инвариантным. В конце кондов преобразование
SL(2,C) является специальным случаем репараметризации мировой
поверхности, и оператор, описывающий испускание или поглощение струны где
угодно на мировой поверхности, должен быть инвариантным относительно
репараметризации. Частным случаем преобразования SL(2C) является
глобальное изменение масштаба мировой поверхности z-+tz (или инфини-
тезимально бz-bz). Так как мера интегрирования d2z приобретает множитель
t2 при таком преобразовании, то V может быть инвариантным, если только
eik'x преобразуется с множителем /_2. Это фактически означает, что
квантовополевой оператор eik'x должен быть оператором размерности два. На
первый взгляд это кажется невозможным, так как глобальная масштабная
инвариантность струнного действия (1.3.9) с фиксированной калибровкой
требует безразмерности вектора в классической теории, если X безразмерен,
то таковым должен быть и множитель eik'x. Единственная надежда, которая
остается,- это найти нужную квантовую аномальную размерность оператора
eik'x. Обнаружение аномальных размерностей в свободной теории поля
