Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
обсудим в гл. 6.
1.5.4. Восстановление амплитуды Венециано
Вернувшись теперь к формуле (1.5.8), вычислим коэффициент теоретико-
группового множителя ... Хм), или,
другими словами, амплитуду, соответствующую циклическому порядку 1,2,3,
..., М внешних линий. Мы должны устранить остаточную репараметризационную
симметрию SL{2,R). Удобный способ сделать это-воспользоваться SL (2, R)-
инвариантностью и зафиксировать, например, координаты Х\=0, хм-\=\, хм =
оо. Тогда для вычисления (1.5.8) необходимо только знать пропагатор
свободного поля на верхней полуплоскости. Это можно легко определить с
помощью метода изображений. На
66
1. Введение
всей плоскости, как было ранее найдено, пропагатор G{z,z') = = In\z -
z'\; на верхней полуплоскости необходимо включить зеркальный заряд, чтобы
пропагатор G удовлетворял такому граничному условию, когда его нормальная
на вещественной оси производная обращается в нуль, т. е. для вещественных
z(= х + iy)
dG (г, г') Л _ 1Л.
------когда у = 0. (1.5.10)
Решением этого уравнения является G(z, z') = \n\z - z'\-{-
In|з - z'|, где z' является точкой образа. (Если z' - (x,y),
Рис. 1.17. На рис. а схематически изображена струнная диаграмма, в
которой внешними частицами являются и замкнутые, и открытые струны. После
конформного отображения, которое проецирует внешние струны в конечные
точки, открытые струны представляются вершинными операторами,
вставленными на границу мировой поверхности, а замкнутые струны
представляются вершинными операторами, вставленными во внутреннюю часть
полуплоскости (рис. Ъ).
то 2' = (х,-у).) То, что нам в действительности нужно в
(1.5.8), так это пропагатор, определенный для двух точек, лежащих на
вещественной оси, а в этом случае G(x,x ) = 21п|х - х'\. С учетом
множителя 2 вычисление (1.5.8) дает
A = gM~2 ^ dx2dx3 ... dxM_2 (1.5.11)
0<x2<a:3<... <*м_2<1
М -2
П IX, |1 1 - X, (**•*/ П \х1-хт \к'-V
/= 2 2<Z<m<AT-2
Эта формула есть "-частичное обобщение Коба - Нильсена формулы для
амплитуды Венедиано. В случае четырехточечной функции она принимает более
простой вид:
1
4 = gz^dxx^(l -xfk> = g2B(-±-2, -4-2), (1.5.12)
О
что является первоначальной амплитудой Венедиано.
1.5. Другие аспекты струнной теории
67
В более общем случае мы можем вычислить амплитуду рассеяния и с
открытыми, и с замкнутыми струнами в конечных и начальных состояниях.
Например, на рис. 1.17, а мы изобразили струнную диаграмму с внешними
открытыми и замкнутыми струнами, которая может быть конформно отображена
на верхнюю полуплоскость. В результате этого отображения внешние открытые
струны представляются вершинными операторами, которые интегрируются по
вещественной оси (взятые в некотором циклическом порядке), тогда как
замкнутые струны представляются вершинными операторами,
проинтегрированными по всей верхней полуплоскости. Эта ситуация
изображена на рис. 1.17,6.
1.5.5. Сравнение с КХД
В настоящем рассмотрении мы просто "вытащили множители Чана - Патона из
шляпы", отметив, что они не нарушают последовательность теории каким-либо
очевидным образом. Однако исторически множители Чана - Патона сыграли
важную роль в попытках интерпретировать струнную теорию как теорию
адронов. Действительно, унитарная группа симметрии Чана- Патона
интерпретировалась как группа, которую мы теперь называли бы "группой
ароматов" сильных взаимодействий. Например, для трех "ароматов", т. е.
если кварки на концах струны бывают трех типов (скажем, и, d и s),
группой Чана-• Патона является группа U(3) ~ SU(3) X U ( 1). Здесь группа
SU(3) соответствует группе восьмеричного пути.
В рамках такой исторической интерпретации модели открытая струна
соответствует мезону с кварком на одном конце и антикварком на другом.
Струна - некая сила, удерживающая кварк и антикварк вместе. Конечно, в
этой модели возникает несколько проблем. Во-первых, в ней имеются
тахионы; во-вто-рых, введение явного нарушения симметрии U(3) без
патологий кажется невозможным; в третьих, существуют смущающие без-
массовые частицы, не имеющие родственников в мире сильно-
взаимодействующих частиц. К тому же, хотя мы можем попытаться
проинтерпретировать множитель ?/(1) в группе Чана - Патона U(3) ~ S?/(3)X
t/(l) как группу, связанную с барион-ным числом, это не удастся, так как
в модели, к сожалению, отсутствуют барионы или фермионы любого типа. В
1971 г. Рамон сделал интересную попытку ввести в эту модель фермионы.
Это, однако, привело не к теории сильных взаимодействий, а (после многих
перипетий) к -суперсимметрии, супергравитации и суперструнам.
Несмотря на многочисленные неудачные попытки рассматривать струнную
теорию в качестве теории сильных взаимодей-
68
1. Введение
ствий, между теорией открытой струны и современными представлениями,
согласно которым мезон является од-парой, связанной трубкой
хромомагнитного потока, имеется поразительное сходство. Поскольку
открытие теории струн не было просто счастливой случайностью, эта
