Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
либо векторные значения. В этой формуле собраны все возможные
трехточечные вершины из предыдущего раздела. В этих обозначениях
трехчастичная вершина для безмассовых состояний замкнутой струны
запишется следующим образом:
Acl- y.rAA'rBB'rcc'v (-k -k (~k - k
л3 b2 Ьз У ЛВС\_ 2 1' 2 2' 2 $) А'В'С\ 2 Г 2 2> 2 3) '
(7.4.54)
Она описывает все возможные взаимодействия 256 безмассовых состояний.
Число 256 определяется тем, что в калибровке светового конуса каждый из
индексов А, А', . . . может принимать по 16 значений; в ковариантном
описании это индексы десятимерного вектора или 16-компонентного майорано-
вейлевского спинора. В теориях типа I и IIВ индексы А, В, С и А', В', С'
относятся к спинорам одинаковой киральности, а в теории типа IIA -
противоположной. Кроме того, в теории типа I спектр ограничен до
мультиплета супергравитации N = 1 условием градуированной симметрии
?,АА', т. е. требованием антисимметричности, если оба индекса спинорные,
и симметричности в противном случае.
470
7. Древесные амплитуды
Для четырех безмассовых частиц деревья строятся с помощью формулы
(7.2.40). Полученные в предыдущем разделе четырехчастичные деревья
открытой струны можно записать в следующем виде:
д°р - a2rArBrCrDК Г (-s/2) Г (- tj2)
4 S 4,1 4,2 4>3 A ABCD Г (1 + u/2) '
где Kabcd представляет собой все возможные варианты кинематических
факторов, обозначавшихся буквой К в предыдущем разделе. Все эти факторы
обладают полной градуированной симметрией относительно одновременных
перестановок индексов и соответствующих импульсов. Для нахождения А\
необходимо соотношение
Г (-s/8) Г (- m Г (- Ц8) Г (- и/8) _
C(s, H)-(.l.f) X
Г (1 - s/8 - //8) ^ Г (1 - t/& -и/8)
Г (- s/8) Г (- Ц8) Г (- я/8) Г7 4Ч6\
- Г (1 + s/8) Г (1 + t/8) Г (1 + и/8) '
которое выводится с помощью тождества Г(а)Г(1 - a)sinjta == = я. Через
функцию С (s, t, и) амплитуда выражается следующим образом:
A\l = ^C'C'C'C'^abcd № KA,m,D, (k/2) С (s, t, и). (7.4.57)
Поскольку К и С полностью симметричны по всем четырем ли ниям, то и (
симметрией.
ниям, то и сама А%1 обладает искомой полной градуированной
7.4.4. Деревья гетеротической струны
Гетеротическая струна - это замкнутая струна, у которой правый сектор
суперсимметричен, а левый - чисто бозонный. Кроме того, эта теория
обладает группой симметрии Е% X Е8 или spin (32) /Z2, как это описано в
разд. 6.3. Эта симметрия может быть введена либо посредством
компактификации 16 левых измерений на соответствующий тор, либо с помощью
32 фермионных степеней свободы, аналогичных фермионам RNS-cynep-струны.
В левом секторе безмассовые степени свободы описываются одним
десятимерным вектором и 496 скалярами, лежащими в присоединенном
представлении калибровочной группы. Тензорное произведение векторного
состояния на безмассовые правые моды образует мультиплет N = I, D = 10
супергравитации, и мы начнем с того, что рассмотрим амплитуды, в которых
участвуют эти состояния. Все эти состояния можно расклассифицира-
7.4. Суперструна в суперсимметричной формулировке 471
вать по значениям тензоров поляризации и спиноров где А - это индекс по
правому супермультиплету (векторный и спи-норный, как в разд. 7.4.3), а ц
- векторный индекс, ассоциированный с левыми модами. В этих обозначениях
кубические вершины для супергравитационного мультиплета запишутся в виде
лз = ^n^PVABC (т k) (| k) , (7.4.58)
где VАвс - введенные в разд. 7.4.3 вершины, a ^Vp задается формулой
(7.1.58). Напомним, что только р, но не Vавс, содержит поправки порядка
0(а') к вершинам обычной минимальной теории Янга - Миллса. В результате
Л3 будет содержать поправки порядка О (а') к вершинам взаимодействия
минимальной N = 1, D = 10 супергравитации. В эффективном действии эти
поправки будут представляться, в частности, членами типа R2.
С помощью (7.2.40) можно вычислить и четырехчастичные деревья для
состояний, принадлежащих к мультиплету супергравитации. Для этого сначала
надо вычислить четырехвекторное дерево из бозонной струны, которое
получается из (7.1.68) при М = 4:
/\bos - 2 isbos /<\ Г (- s/2) Г (- t/2) . |-Q4
Л4 ё W г (1 + u/2)
Здесь кинематический фактор ръ [Щ полностью симметричен по всем четырем
линиям, в точности как (7.4.42), однако явно выписывать его довольно
утомительно, поскольку в нем в два раза больше членов, чем в (7.4.42).
Четырехчастичное дерево записывается через этот фактор и Kabcd,
определенный формулой (7.4.55), следующим образом:
A4^K%f^H^ABCDmK^pl(k/2)C(s, t, и). (7.4.60)
Здесь C(s, t, и) задается формулой (7.4.56).
Безмассовые спектры для суперструны типа I и гетеротиче-ской струны
совпадают, и можно сравнить амплитуды (7.4.58) и (7.4.60) с амплитудами
(7.4.54) и (7.4.57) для соответствующих состояний. В обоих случаях
главные члены в разложении по степеням а' совпадают с вершинами и
деревьями из минимальной Z)=10, N = 1 супергравитации (подробнее она
будет описана в гл. 13). Однако члены, зависящие от а', уже совпадать не
будут. Например, (7.4.54) от а' не зависит, а (7.4.58) линейна по а'. Еще
