Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
более существенной становится эта разница для .M-частичных деревьев при М
> 3. Отсюда следует вывод, что хотя лидирующие члены в обоих случаях и
представляют собой одну и ту же теорию супергравитации, описанную в
472
7. Древесные амплитуды
разд. 13.1, но все же полные полевые теории будут совершенно различны.
Рассмотрим теперь несколько вершин и амплитуд для состояний, несущих
нетривиальные квантовые числа. Правые суперструнные моды будут
описываться так же, как и прежде, но в левом секторе нам надо описывать
теперь моды, принадлежащие к присоединенному представлению калибровочной
группы. Если описывать калибровочные степени свободы на бозонном языке,
то 496 безмассовых мод разбиваются на две группы. Шестнадцать мод попарно
коммутируют и принадлежат к картановской подалгебре, а остальные 480
несут заряды К' с К-К = 2; для мод из картановской подалгебры К! = 0. Из-
за такой разницы в способе описания этих двух групп состояний полная
группа симметрии оказывается не совсем явной.
Амплитуды для состояний из картановской подалгебры получаются заменой
пространственно-временных индексов на теоретико-групповые, т е.
W->W. (7-4.61)
Поскольку в нашем случае все внутренние импульсы равны нулю, то
неисчезающие слагаемые возникают только тогда, когда I, J, К, L связаны
не с импульсами, а с дельтами Кронекера. Поэтому tuK зануляются, и вместо
(6/2) в (7.4.60) надо
подставлять
Kijkl (6/2) ~ j _|_ &u&KL + j +^/8 + ~Т+~й/8 ^,K^JL (7-
4.62)
для описания рассеяния четырех супер-янг-миллсовских состояний, связанных
с картановской подалгеброй. В низкоэнергетическом точечном пределе эта
амплитуда обращается в нуль, что согласуется с тем фактом, что в обычной
теории Янга - Миллса нейтральным частицам в древесном приближении
отвечают нулевые амплитуды.
Рассмотрим теперь рассеяние заряженных частиц, т. е. амплитуды с участием
тех состояний, которые ассоциированы с 480 генераторами, не
принадлежащими к картановской подалгебре. Эти состояния можно
рассматривать как обобщение левых тахионов в том смысле, что тахионное
условие массовой
поверхности б! = 2 для левого 26-импульса kL = (1/2) (kM, К1) выполняется
за счет k2 = 0, К2 = 2. В отличие от обычных тахионов (k2 = 8, К2 = 0),
для которых, как это показано в разд. 6.3.1, не может быть выполнено
условие L0 = L0-1, эти состояния существенны для физического спектра.
Амплитуды с участием таких заряженных частиц описываются функциями, у
которых вклад левых мод описывается многотахионной
7.4. Суперструна в суперсимметричной формулировке 473
амплитудой обычной бозонной теории, но с описанными выше импульсами (k2 -
0, К2 = 2). Кроме того, необходимо учесть еще вклад коциклов вершинных
операторов. Например, трехчастичная вершина для трех таких левых мод есть
е (К) = (К\ \ Vl (К2) I Кз), (7.4.63)
где
VL(K2) = cKi{P)e>-^x. (7.4.64)
Выбирая коциклы
с*(Р) = (-1)Р** (7.4.65)
как в разд. 6.4.5, мы получаем просто
e(tf) = (-1)**'*\ (7.4.66)
Поскольку KiК2-\-Кз = 0 и К\ = 2, то, следовательно, е будет полностью
антисимметрична относительно перестановок трех координат К. Поэтому
вершинный оператор для трех заряженных частиц
А3 = (К) VABC (1 k) (7.4.67)
будет иметь правильную симметрию в соответствии с выбранным типом
статистики (Бозе или Ферми). При этом коэффициенты е (К) представляют
собой структурные константы для трех заряженных частиц в базисе, где они
полностью антисимметричны.
Примерно из тех же соображений находится амплитуда для четырех заряженных
частиц. По аналогии с мандельштамов-скими переменными s, t, и, удобно
ввести решеточные инварианты
S=~(Kl + K2)2, Т = - (К2 + Къ)2, и = -(К1 + Кг)2. (7.4.68)
Из кинематических условий ?л^ = 0, Ki = 2 следует 5 + Г + + U - -8, и
единственно допустимыми для S, Т и U оказываются значения -8, -6, -4, -
2, 0. Например, еслн Ki =
= Ki = - Кз = -Ki, то 5 = -8 и Т = и - 0. Четырехтахионная амплитуда с
импульсами kL - это
B(-l-S/8-S/2, -1-^/8-7/2) =
_ Г (1 - s/8 - S/2) Г (-1 - tf8 - Г/2) ,
Г (2 + а/8 + U/2) ' (7.4.0У/
Объединяя ее с древесной амплитудой для четырех открытых суперструн,
получаем окончательную формулу для четырех заряженных состояний
гетеротической струны-
А4 ~ ^m^ABCD (*/2) е (*)D (*- Я). (7.4.70)
474
7. Древесные амплитуды
где
П(Ь К\ тт Г ~ 5/8 ~ S/2) Г (-1 - //8 - Т/2) Г (-1 - в/8 - U/2)
' Л; Г (1 + s/8) Г (1 + f/8) Г (1 + и/8)
(7.4.71)
а коцикл задается формулой
8 (К) = сКа (*, + к2) СК2 (К{) (-1)У/2 =
^J * Кз~\~Кз * К2~\~^2 * Kl ^ У2)
Этот множитель полностью симметричен по всем Ки Поразительно красиво и
изящно выглядит это замысловатое переплетение динамических переменных и
теоретико-групповых координат!
Все формулы для четырехчастичных амплитуд, и для заряженных частиц
(формула (7.4.70)), и для нейтральных (формулы (7.4.60) и (7.4.62)),
можно объединить в единой формуле, имеющей к тому же и более привычный
вид. Для этого сопоставим внешним частицам матрицы Та, где индекс а
пробегает 496 значений (по числу генераторов групп ?eX?s или 50(32)). Для
