Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Грин М. -> "Теория суперструн. Том 1" -> 190

Теория суперструн. Том 1 - Грин М.

Грин М., Шварц Дж., Виттен Э. Теория суперструн. Том 1 — М.: Мир, 1990. — 518 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyasuperstrunt11990.pdf
Предыдущая << 1 .. 184 185 186 187 188 189 < 190 > 191 192 193 194 195 196 .. 212 >> Следующая

полностью симметричны по всем внешним линиям, что не оставляет
возможности для включения каких-либо групповых факторов. Формулы для
амплитуд замкнутой струны устроены почти как прямое произведение двух
амплитуд открытой струны, причем один фактор связан с правыми, а другой-с
левыми модами. В частности, в каждом из двух секторов действует по одному
SL(2, R) -фактору, и (например) бозонные вершинные операторы имеют
конформную размерность (1,1).
Все результаты этой главы можно получить и рядом других способов: с
помощью континуального интеграла, описанного в гл. 1, функциональными
методами гл. 11 или из струнной теории поля в калибровке светового
конуса. Можно надеяться, что
Приложение 7 Л
477
в конечном счете существует и ковариантная полевая формулировка или
какой-то подходящий ее эквивалент.
Приложение 7.А. Метод когерентных состояний и корреляционные функции
В этом приложении мы докажем (7.1.64) и еще несколько близких к ней
формул. Как будет ясно внимательному читателю, рассматриваемые здесь
соотношения весьма похожи на те, с которыми мы встречались в разд. 3.2.4
при обсуждении процедуры бозонизации.
Начнем с тождества, которое справедливо для любой пары операторов Л и В,
линейных по операторам рождения и уничтожения гармонического осциллятора:
(: ел : : ев :) = е<лв>. (7.А.1)
Здесь <. . .) - это сокращенная запись среднего по основному состоянию
<0| ... |0>. Если есть не один, а много гармонических осцилляторов, то из
условия линейности следует, что как правая, так и левая части этого
тождества распадаются на произведение факторов, каждый из которых связан
только с одним осциллятором. Таким образом, достаточно доказать эту
формулу для случая одного осциллятора, т. е., положив А = сха^ + + с2а и
В = с3а+ + с4а, мы должны убедиться в том, что
(О \ес'аес а*| 0) = е°-с'. (7.А.2)
Легко доказать тождество (7.А.2) с помощью совершенно элементарных
рассуждений, однако вместо этого мы опишем технику, в основе которой
лежит понятие когерентного состояния и которая пригодится нам и в
последующих главах. Определим когерентное состояние |Я) формулой
оо
| Я) = ехр (Яа+) I 0) = У ~^=г \ п), (7.А.З)
to Vre!
где | п) - нормированный вектор из обычного базиса чисел заполнения: аУа|
п) = п |п) и {т\п) - Ьтп. Заметим, в частности, что 10) = 10).
Когерентные состояния являются собственными векторами понижающего
оператора а,
а | Я) = Я | Я), (7.А.4)
что легко проверить с помощью [а, а+] = 1. Кроме того,
е*1а|Я2) = е^|Я2), (7.А.5)
478
7. Древесные амплитуды
и следовательно,
(ц | Я) = (0 | ей*а | я) = е"'К (7.А.6)
Из этой формулы прямо вытекает искомое равенство (7.А.2). Еще одно
полезное тождество - это
оо
г"+"|я) = ? ^-|я> = |Я2); (7.А.7)
п = О У П '
оно прямо следует из определения |Я).
Напомним, что
Х* (у) = xv- - ip* log у + i Е ^ а!пу~п, (7. А.8)
П =5^0
а часть тахионного вершинного оператора, связанная с ненулевыми модами,
это
W0(k, у) = ехрfk • Е \а-пУ jexpf-k • ]Г ^пУ~п)• (7.А.9)
' П=1 ' ' П=1 '
И, следовательно, соответствующая часть корреляционной функции
произведения двух вертексов равна
(W0(ku yJWofa, J/2)) = (l-Wi/.)ftl'ft2- (7.А.10)
Простейший способ получить эту формулу - воспользоваться (7.А.1) и
тождеством
= - if''log (1 - yz/yi), (7.А.11)
справедливым при |г/г| < \у\\-
Формула (7.А.1) допускает обобщение
<: :: е** eAfA :> = exp[Z <^/>]. (7.А.12)
в чем нетрудно убедиться с помощью только что описанного метода
когерентных состояний, и следовательно, обобщением (7.А. 10) будет
Приложение 7.А
479
Рассмотрим теперь вклад нулевых мод. Для случая тахион* ных вертексов он
имеет вид
(^о(6р У\)2,0(1г2, у2) ... ZQ[kM, Ум)') =
= (П yi)(elk'-xykspetk*-xykfp .. • eik"'xyk"-p). (7.А.14)
Но
eik"'xyk"-p \0) = \kM),
ь ь (7.А.15)
р1*М-ух км-VP \ и \____ .,kM-VkM I Ь 4- Ь \
е Ум-i \RM/ - yM-i I км-\ + км/ и так далее. В итоге получаем
<Z0( 1) ... Z(M)) = (n.yt)Uyktl'ki. (7.А.16)
Объединив эту формулу с формулой (7.А.13), получаем
/М*1-*,) ко (fe2- у2) М^м\ = д {yi _ yjp-kK {7 АЛ7}
\ У1 У2 ум /
что и утверждалось в (7.1.73).
Тот факт, что в правую часть (7.А.17) входят лишь разности yi - yj, можно
понять следующим образом. Утверждение, что конформная размерность V(у)
равна единице, означает (поскольку д/дх = iyd/dy), что
[Lm, V(y)]=ym(y-^ + m)v(y) = y -^[ymV(y)}. (7.А.18)
В частности, при т = -1
V (y)/y] = -^-[V (у)/у]. (7.А.19)
Следовательно, при общем преобразовании L-\ имеем
ISyi).e~KL-i = У(у1^) (7.А.20)
Vi Vt Ус + Х
При этом корреляционная функция (7.А.17) не меняется в силу SL(2, R)-
инвариантности вакуума, а это значит, что окончательный результат может
зависеть только от разностей yi - г//, если для вертексов /= 1.
Рассмотрим теперь, что произойдет при перестановке двух соседних
вершинных операторов V(i) и V(i+1) в (7.А.17). С формальной точки
зрения, весь эффект сведется к замене
(ifi~ yi+\)hi г+1 на (*/г+1 - Удк' hi+l в правой части. Однако тут
имеется одно затруднение- суммируемые при этом ряды, такие
Предыдущая << 1 .. 184 185 186 187 188 189 < 190 > 191 192 193 194 195 196 .. 212 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed