Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
калибровке светового конуса приводит нас к двум системам осцилляторных
мод, обозначенных агп и Моды ап участвуют в разложении поперечных
пространственных координат Х'(а, т) и удовлетворяют обычным
перестановочным соотношениям
К> <] = m6m+n6ii- (7.4.1)
Моды Sn - это моды восьми компонент 0°(о, т), выживающих в калибровке
светового конуса; их перестановки имеют вид
1C, S"} = 6m+"6ab. (7.4.2)
Соответственно, преобразуются как 8v по поперечной группе-
spin(8), а Sn - как 8S. 16 суперзарядов лежат в представлениях 8S и 8С и
задаются формулами
Q" = {2p*)'KSS, (7.4.3)
Q*=(/>Tl'!vL,?st"" I
- ОО
(7.4.4)"
7.4. Суперструна в суперсимметричной формулировке
459
Матрицы у'ай, позволяющие инвариантным образом связать три 8-мультиплета
группы spin (8), были описаны в приложении 5.В.
Итак, наша задача - построить вершинные операторы, которые описывают
испускание, состояний | и) и |?>, связанных преобразованиями
суперсимметрии. Особенно простой вид искомые формулы принимают в том
случае, если мы введем кинематическое ограничение k+ = 0. Основные
трудности, возникающие при использовании произвольной кинематической
конфигу рации в теории струн при выборе калибровки светового конуса,
происходят от того, что в формулу для любого вершинного оператора
непременно входит фактор exp (ik-X(x)). А в этой калибровке X-
представляет собой квадратичную форму по координатам Х', и вычисление
экспоненты сопряжено со всеми обычными проблемами нормального
упорядочения. Как мы установим в гл. 11, есть способ преодоления этих
трудностей; он состоит в том, чтобы ввести для каждой струны отдельное
фоков-ское пространство. Можно, конечно, воспользоваться и описанным выше
ковариантным формализмом. Однако в целом ряде случаев гораздо удобнее
пользоваться описываемыми ниже сравнительно простыми вершинными
операторами, в которых гораздо проще вычисляются древесные, как, впрочем,
и однопет-.левые диаграммы.')
Прежде чем приступить к определению самих вертексов, нам придется
разобрать некоторые чисто кинематические тонкости. .Для основного
состояния из условия массовой поверхности
(kl)2 = 2k+k~ (7.4.5)
и условий k+ = 0, kr конечно, прямо следует, что (k1)2 = 0, а значит,
необходимо допустить у & комплексные значения, иначе все они тождественно
обратятся в нуль. Кроме того, независимыми будут лишь семь из восьми k\ и
роль недостающего импульса будет играть k~, поскольку его значение из
(7.4.5) не определяется. Аналогично, восемь независимых компонент имеет и
вектор поляризации основного векторного состояния ^ удовлетворяющий
условию = ?*/&+. При k+ = 0 удобно положить Xjk1 = 0 - это одно
соотношение между поперечными компонентами, оставляющее восьмой
независимой компонентой.
1) Вершинные операторы в произвольной системе отсчета можно получить из
приведенных здесь операторов, действуя на них соответствующим
преобразованием Лоренца, используя приведенное в разд. 5.2.2 представле-
ние /|lv в калиброве светового конуса. При этом естественно
предполагается, что теория лоренц-инвариантна.
460
7. Древесные амплитуды
Как мы видели в приложении 5.В, компоненты безмассового-спинора связаны
условиями
иа = - Yаа&ий. (7.4.6У
Когда k+ = 0, удобно положить
Vadfe?"d = (7.4.7)'
так что иа оказывается конечной величиной. С другой
стороны,
из (7.4.7) следует, что у ий есть только четыре независимые
компоненты (вместо восьми), однако при этом есть четыре независимые
компоненты у иа, которые никак не определяются набором ий.
Мы обозначим вертекс, описывающий испускание основного бозонного
состояния с поляризацией Xj и импульсом № (при k+ = 0), как Ув{к, ?),
причем испускание может происходить как из фермионной, так и из бозонной
линии. Обозначим W(&, и) вертекс безмассового фермиона с волновой
функцией иа и импульсом №. Этот вертекс тоже будет обслуживать обе
возможности, и когда фермионная линия находится слева от него, и когда
справа. Сейчас мы покажем, что эти вертексы имеют следующий вид*
VB(?, k) = l • Beikx = {^В1-l~B+)eik'x, (7.4.8)
VP(u, k) = uFeik'x = {uaFa + ийРй)е'к х. (7.4.9)
Ключом к определению В' и Fa является требование, чтобы они переходили
друг в друга при преобразовании суперсимметрии. Поскольку вертексы
зависят от волновых функций, то преобразованные вертексы должны
соответственно зависеть от преобразованных же волновых функций, закон
преобразования которых описан в разд. 5.3.1. Иными словами, мы потребуем,
чтобы
[rfQa, VF(u, k)]~VB& k), (7.4.10)
haQa, IMS. k)]~VP(u, k), (7.4.11)
ИГ, VP(u, k)} ~VB(l k), (7.4.12)
[ed, Qd, VBt k)} " VP(u, k). (7.4.13)
формулы для преобразованных волновых функций йй, ?*
и ий приведены в разд. 5.3.1 для кинематически произвольной конфигурации,
и прежде чем переходить к специальному случаю k+ = 0, из них же можно
получить выражения для
7.4. Суперструна в суперсимметричной формулировке
461
преобразованных ?- и иа. Символ л; означает, что мы требуем равенства
только для матричных элементов на массовой поверхности, или, иными
