Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
все в терминах бозонных переменных, можно затем легко подсчитать
коммутаторы SO(10) -зарядов Qij = ^ lit с 0а и показать, что 0а
преобразуются по SO (10) как спиноры.
452
7. Древесные амплитуды
роль в фермионных вертексах, то эго должно объясняться чем-то специфичным
для фермионов. Ключ к разгадке находится, если вспомнить о
суперконформных духах 7+1/2 и р+3/2 (индексы указывают спин по группе
Лоренца на мировой поверхности и объяснялись в разд. 4.4.1), которые
возникают при квантовании исходной локально суперсимметричной теории в
фиксированной калибровке, приводящей нас к стандартной модели RNS. В
частности, поле р+з/2 имеет квантовые числа супертока J ~ ~ этой
исходной модели, а квантовые числа 7+1/2 те же,
за исключением сдвинутого спина. Мы же строим фермионный оператор,
который порождает разрез для ilA но не для Xр. В результате должен
появиться разрез и у супертока J и, следовательно, у суперконформных
антидухов р+3/2 и духов 7+1/2. Никакого аналога для бозонных вертексов у
этого рассуждения нет, но именно оно дает нам основания ожидать, что в
конструкции фермионного вертекса духам отводится существенная роль.
Итак, наша ближайшая цель - определить спиновые операторы, способные
породить разрез для суперконформных духов у, р. Действие для этой системы
очень похоже на действие для дираковских фермионов. Правые моды,
например, описываются формулой
6'=-^V(Y+1/2V+1fL3/2)- <7-3'54)
Поэтому можно предположить, что спиновые операторы для этой системы
строятся тем же способом, что и для полей гр1*. Однако тут мы
сталкиваемся с рядом довольно тонких моментов (они были успешно
преодолены FMS). Эти тонкости возникают потому, что 7 и р в (7.3.54)
являются коммутирующими полями, и, значит, речь теперь пойдет о
"бозонизации бозонов", что, естественно, не может не внести во всю
конструкцию существенно новых понятий. В нашем дальнейшем изложении мы
попытаемся максимально все упростить и по возможности обойтись без
введения наиболее тонких и трудных для понимания новых объектов, хотя
возможно, что именно они могут оказаться чрезвычайно существенными для
дальнейшего развития теории струн.
Начнем с того, что сделаем несколько наблюдений, которые в равной мере
могли бы послужить и исходной точкой для построения обычной бозонизации в
гл. 3. Такую альтернативную точку зрения стоит выработать, поскольку наша
прежняя стратегия состояла в том, что мы в разд. 3.2.4 начинали с
построения анткоммутирующих полей из бозонных переменных, что для данной
задачи, где сами 7 и р являются уже коммутирующими,
7.3. Суперструны в формулировке RNS
453
а не антикоммутирующими полями, представляется совершенно бесполезным.
Соответственно и большинство бозонизационных формул в нашем случае уже не
будут верны, но некоторые из них, те, что имеют в своей основе
сравнительно простые и очевидные соображения, все же продолжают
выполняться, их мы и попытаемся сейчас выделить. В частности, имеются
формулы, куда входит ток духового числа /_=7+1/2р_з/2. Сам этот ток имеет
нулевое духовое число, и если пользоваться
Рис. 7.15. Однопетлевая диаграмма, дающая вклад в аномалию коммутатора
двух токов.
скобками Пуассона, то мы обнаружим, что сам с собой он коммутирует.
Однако на квантовом уровне, так же как и в фермионном случае, имеется
швингеровская аномалия, появляющаяся из однопетлевой диаграммы рис. 7.15,
так что он удовлетворяет одновременным перестановочным соотношениям
[/_ (а), /_ (а')] = " (а - ст'). (7.3.55)
В фермионном случае мы рассматривали эту аномалию в гл. 6, но для
коммутирующих полей у и р имеется одно существенное отличие. Знак минус,
который идет для диаграммы типа рис. 7.15 от замкнутой фермионной петли,
в нашем случае отсутствует, и знак швингеровского члена будет
противоположен обычному знаку.
С точностью до этого минуса коммутатор в (7.3.55) очень похож на формулу
канонических перестановочных соотношений для правых бозонов, с которой мы
уже встречались, например в гл. 3. Неприводимое представление этих
соотношений единственно, и значит, мы можем (в точности как в фермионном
случае) выразить ток /_ через правый бозон р~:
/_ = гд_Р~. (7.3.56)
Поскольку швингеровский член в правой части (7.3.55) имеет неправильный
знак, то, стало быть, р- является правым сектором некоего бозона р,
кинетическая энергия которого тоже имеет неправильный знак:
5 = i S d2odapdap =^\d2a [(dap)2 - (<ЭХР)2]. (7.3.57)
454
7. Древесные амплитуды
Теперь можно прямо вычислить из (7.3.57) канонический коммутатор для д_р-
и убедиться, что ток, определенный по (7.3.56), действительно имеет
перестановки (7.3.55). Таким образом, мы показали, что формула (7.3.56)
имеет место и для "бозониза-ции бозонов", с той лишь разницей, что у
кинетической энергии поля р должен быть неправильный знак. Этот
неправильный знак просто отражает тот факт, что вычисленная по диаграмме
рис. 7.15 двухточечная функция для тока /_ имеет знак, противоположный
стандартному. Иными словами, если мы хотим, чтобы формула (7.3.56) имела
