Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Грин М. -> "Теория суперструн. Том 1" -> 179

Теория суперструн. Том 1 - Грин М.

Грин М., Шварц Дж., Виттен Э. Теория суперструн. Том 1 — М.: Мир, 1990. — 518 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyasuperstrunt11990.pdf
Предыдущая << 1 .. 173 174 175 176 177 178 < 179 > 180 181 182 183 184 185 .. 212 >> Следующая

Заметим, что корневые точки ветвления располагаются при o~ = oj~ и ст~ =
сг-_ Наличие этих точек означает, что когда элементарный фермион (стз^)
находится в поле оператора ?>1/2 (fff), то он становится двузначным: при
каждом обходе аргумента сг~ по малой петле вокруг точки в~ (см. рис.
7.14) его поле меняет знак. Можно рассмотреть и другие корреля-
450
7. Древесные амплитуды
ционные функции, в которые входят вместе D и -ф, и в точности таким же
образом убедиться, что D±i/2 действительно порождает разрез для яр1±/2.
По аналогии с тем, что происходит в двумерной модели Изинга, операторы,
порождающие разрезы, часто называют "спиновыми операторами". Поскольку
размерность D± 1/2 равна 1/8 (для данной системы с & = 0), то значит, мы
выяснили, что спиновый оператор пары обычных майора-новских фермионов
имеет размерность 1/8.
Теперь мы двинемся дальше и вместо одной пары фермионов ij)1'2 рассмотрим
десять правых фермионов модели RNS. Удобно работать в эвклидовом
пространстве, так что вместо группы Лоренца 50(1, 9) у нас будет группа
50(10), а в такой сигнатуре естественно перенумеровать RNS-фермионы как ц
= 1, 101). Чтобы бозонизовать ip, надо ввести пять пра-
вых бозонов ф,, i = l, 5, определяемых из формул
<ф1 ± ?2 -- ?ф1 ^3 ± /4 __ Uрг <ф5 ± ?6 -- g±. (фз
¦ф7 ± ts -е± г<р4> ± по __ е± (7.3.50)
Эти ф* связаны с генераторами картоновской подалгебры 50(10) (мы уже не
раз сталкивались с примерами такой связи в тексте глав 5 и 6, а также в
приложении 5.А):
/12 = /д_ф1, /34 = /с)_ф2, /б6 - г<?-Фз>
, г -з (7.3.51)
* 78 - 2У_ф4! 9, 10 - гё'-фз-
(Как и в приложении 5.А, Jkt обозначает операторы, генерирующие вращения
в плоскости Ы.) По каждому ц>т строятся "спиновые операторы"
Я±1/2 = е±,'ф'< (7.3.52)
которые порождают разрезы для пары я|# (фактически для ф2т-1 и для если
мы хотим организовать одним операто-
ром разрез сразу для всех то надо перемножить спиновые операторы всех
пяти типов. Итак, мы полагаем
(c)a = Z)± 1 /г/)± i/г . • • D± i/г. (7.3.53)
Индекс а в (7.3.53) указывает конкретный выбор знаков у всех ±1/2. Мы
можем независимо выбирать знак на пяти позициях в формуле (7.3.53), так
что всего мы получаем 25 = 32 "спиновых оператора" 0а. Поскольку 32=16+16
- это как раз размерность спинорного представления группы 50(10), то
естественно предположить, что (c)а будет и на самом деле преобра-
*) Таким образом, в настоящем обсуждении времениподобная мода будет
заменена на пространственноподобную моду "ф10.
7.3. Суперструны в формулировке RNS
451
зовываться как спинор 50(10). И действительно, сравнивая явный вид
картановских генераторов в (7.3.51) с определением спиновых операторов в
(7.3.52) и (7.3.53), мы убеждаемся, что (из-за наличия множителей 1/2 в
показателях формул (7.3.52)) @а имеют веса (±1/2, ±1, 2, ..., ±1/2), а
как мы знаем из приложения 5.А, это как раз и есть веса спинорного
представления группы 50(10). Мы будем считать, что это наблюдение
является достаточным аргументом в пользу того, что (c)а есть спинор группы
50 (10).1)
Итак, мы проделали немалый путь в поисках удовлетворительного вершинного
оператора для фермионов. Мы нашли операторы, которые преобразуются как
спиноры и генерируют разрезы для полей ¦фМ'. Но, к сожалению, конформная
размерность (c)а не позволяет прямо отождествить их с искомыми операторами.
Поскольку в определение (c)а по формуле (7.3.53) входит пять независимых
сомножителей размерности 1/8, то мы получаем для @а размерность 5/8. Но
необходимая нам правильная размерность есть 1, следовательно, необходимо
добыть недостающие 3/8 из какого-то другого источника.
Чтобы обосновать догадку о том, каким может быть источник, напомним
характер общей аргументации, которая привела нас в разд. 1.4.2 к выводу о
существовании вершинных операторов для любых внешних частиц. В основе
всего рассуждения лежала конформная инвариантность: с помощью некоторого
конформного отображения всегда можно перевести внешнюю струну в какую-то
конечную точку, и тогда в этой точке должен появиться локальный оператор.
Однако в строгом смысле конформная инвариантность имеет место лишь в том
случае, когда в формулировке струнной теории участвуют духи - только
тогда полностью устраняется конформная аномалия. Значит, если мы
принимаем аргументы, убеждающие нас в существовании вершинных операторов,
то надо признать, что эти операторы живут в расширенном гильбертовом
пространстве, включающем и духи.
Несомненно, однако, что мы прекрасно описывали бозонные вершинные
операторы, нисколько не заботясь о духах; следовательно, если духи и
действительно играют какую-то важную
!) Вот набросок полного доказательства. В спинорном описании SO(IO)-токи
- это в точности Jij = 1|з,1|5/. Поскольку в формулах (7.3.50) 1|)г
выражены через бозонные переменные ф*, то и S0(1O)-tokh можно выразить
через бозоны; в результате возникают формулы, очень похожие на те, что
появлялись в гл. 6 при описании бозонного представления для Ее. Описав
Предыдущая << 1 .. 173 174 175 176 177 178 < 179 > 180 181 182 183 184 185 .. 212 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed