Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
место, пропагатор бозона р- должен иметь "неправильный" знак.
Рассмотрим теперь операторы
2< = е"р- (7.3.58)
Двухточечная функция имеет вид
<2, (ст") 2_* (а'")) = (а- - a'~f- (7.3.59)
Показатель в правой части будет теперь не -t2, как в разд. 3.2.4, а +^2,
поскольку пропагатор р- имеет необычный знак. Если обозначить через dt
размерность 2/, то мы видим из (7.3.59), что
dt + d_t = - t2. (7.3.60)
Если воспользоваться тензором энергии-импульса, в котором р и у участвуют
симметрично (& = 0 в обозначениях разд. 3.2.2), то на dt и d-t будет
приходиться поровну, т. е. t2/2. Повторяя аргументацию разд. 3.2.4 при
произвольном k с точностью до измененного знака, получаем общую формулу
dt{k) = - t2j2 + kt/2. (7.3.61)
Причем, как мы видели в разд. 4.4.1, для суперконформных гостов k = 2.
В точности как и в обычной бозонизации, спиновые операторы, порождающие
разрез для элементарных фермионов у и р, суть просто S+1/2. В этом можно
легко убедиться, рассмотрев корреляционные функции, в которых наряду с у
и р ') есть и S+i/2, но мы не будем этого делать, поскольку наше
утверждение выглядит и так достаточно правдоподобно. Размерности этих
спиновых операторов мы получаем из формулы (7.3.61): для S+i/2 и 2-1/2
они равны соответственно 3/8 и -5/8.
*) Вся информация, которая в принципе нужна для вычисления таких
корреляционных функций, содержится в (7.3.56): проинтегрировав эту
формулу, мы выражаем р~ через /_ и далее через у и Р.
7.3. Суперструны в формулировке RNS
455
Духовый спиновый оператор S+i/г размерности 3/8 и есть как раз тот
объект, которого нам не хватало для полного определения фермионного
вершинного оператора Vf. Действительно, рассматривая испускание
безмассового фермиона, описывающегося спинором ы" и импульсом ?*\ мы
можем образовать вершинный оператор
VF{ua; /гй) = Е+1/2 ¦ йа0а • eik'x. (7.3.62)
Более точно, это вершинный оператор испускания безмассового фермионного
состояния открытой струны. Для замкнутой струны надо умножить (7.3.62) на
подходящий вершинный оператор, построенный из мод второго сектора. Кроме
того, если мы собираемся вводить GSO-проекцию, то надо брать спинор м"
только одной определенной киральности.
Можно поинтересоваться, есть ли какое-нибудь полезное применение у
второго спинового оператора, у S-i/г? Действительно, поскольку его
размерность равна -5/8, то комбинация S-i/20а • eik x просто безразмерна,
и, следовательно, можно построить новый вершинный оператор размерности
единица, если умножить ее на подходящий оператор такой размерности,
например на вертекс безмассового бозона. В результате мы получаем новую
вершину испускания фермиона:
у'(и"; /^) = S_1/2-urii0.(a_Z|i + t^i|)lAv)e,ft'Ar. (7.3.63)
На первый взгляд может показаться довольно странным, что есть сразу
несколько кандидатов на одну и ту же роль фермионного вертекса, но при
некотором размышлении факт этот не кажется таким уж странным. Возможность
выбора между
(7.3.62) и (7.3.63) вполне аналогична возможности выбора между двумя
разными "картинами", с которой мы уже сталкивались раньше при описании
бозонных вертексов в модели RNS. И действительно, исследовав более
детально систему суперконформных гостов, FMS нашли общую причину
возникновения в этой модели различных "картин", но углубляться в эту тему
мы сейчас не будем.
Все, чего нам пока удалось добиться в приведенном выше рассуждении - это
лишь поверхностно затронуть тему. Очевидно, что следующим необходимым
шагом должно быть доказательство того факта, что вершинные операторы
(7.3.62) и
(7.3.63), которые столь существенно зависят от суперконформных гостов,
действительно обеспечивают отщепление как этих гостов, так и
времениподобных состояний с отрицатель'ной нормой, которые, довольно
неудачно, тоже принято именовать "гостами". Эти последние представляют
собой тот единственный
456
7. Древесные амплитуды
сорт духов, о котором мы должны были заботиться при исследовании бозонных
вертексов, поскольку мы пользовались формализмом, при котором настоящие
духи в эти вертексы не входят. Напомним, что в разделах 3.2 и 4.4.2 мы
установили, что физические состояния в теории струн могут быть довольно
изящно охарактеризованы как состояния, аннигилируемые BRST-зарядом Q.
Чтобы убедиться, что вертексы (7.3.62) и (7.3.63) не приводят к
перемешиванию физических состояний с теми или иными духами, надо
показать, что эти операторы коммутируют (с точностью до полной
производной) с зарядом Q. Тогда, действуя на физическое (Q-инвариантное)
состояние проинтегрированным вершинным оператором, мы опять-таки получим
физическое (Q-инвариантное) состояние. Хотя показать, что
проинтегрированная форма (7.3.62) коммутирует с BRST-зарядом, не так уж и
трудно, но все же для этого необходимо воспользоваться некоторыми
дополнительными техническими приемами, описывать которые мы здесь не
будем. Что же касается формулы (7.3.63) с небольшими модификациями
(добавка мульти-духового слагаемого), то и про нее можно доказать, что
