Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
m= 1 п - 1
Окончательный результат имеет следующий вид:
(^i I У в (?2> &г) ЛУ в (?з> &з) | &4) =
= + -1-Ц2) +
+ Y§4-kr ^ Шк ¦ К ~ ШК ¦ Q +
+ R"Rb%k&В ( s/2, 1 - t/2) +
+ Y S2 [?2 • &3&3 • ^4 + ?2 • &1?3 • &2 + ?2 • &з?з ' &2 +
+ (_ ^2?3 ' К + ^3?2 ' ^3 + ^2 ' ?3^3 +
+ ?&& • k, - • k3 - ф'к2 ¦ ?3)] В (1 - s/2, -t/2). (7.4.39)
Конкретные амплитуды мы получим, если обложим оператор в (7.4.39) либо
парой безмассовых векторных состояний <?i | и |?U>, либо парой
безмассовых спиноров (щ | и |"4>, типа тех, что описаны в разд. 5.3.1.
Используя полученное в разд. 5.3.1 правило Ro' | k) = b'k | i) - 6tk |мы
можем получить вспомогательные тождества для четырехвекторного случая:
<Si I ?4) = 5х -S4,
(S.IW) = ?&-?{& (7.4.40)
<Si IW1 s4> = - &n - y&ik + &ik-
С их помощью и проведя довольно очевидные, но весьма утомительные
выкладки, мы получаем
Л4 = -1 g2 \{^,1-тГ К ^ k* U k4). (7-4.41)
7.4. Суперструна в суперсимметричной формулировке
467
где кинематический фактор К задается формулой
К= 4- (s^l • ?3?2 • ?4 + SUt,2 ¦ + tut,, • ?2?з ' ?4 +
+ ' ' &3?4 ' &l?l ' ?з +
+ ?l ¦ ^3?4 ' ¦ ?з + ?2 • ^4?3 • ^1?1 ' ?4 +
+ Y ^ (?2 ' ^1?4 ' ^з?з • + ?3 ' &i?l ' ^2?2 ' ?4 +
+ ?2 ' ^4?1 ' &з?з ' ?4 + ?з ' ^1?4 ' ^2?2 - Si +
+ 7"(?Г &2?4 ' &з?з ' ?2 + ?з ' ^4^2 ' k\Z\ ' ?4 +
+ Si • A4S2 • *з?з • ?4 + ?з ' ^4 • A1S1 • S2). (7.4.42)
Как и прежде, если мы предположим, что теория лоренц-инва-риантна, то
можно забыть про кинематические ограничения, которые мы использовали для
получения этого результата, и рассматривать ответ как некоторое
ковариантное выражение, причем в данном случае такая ковариантизация
однозначна. Коль скоро мы принимаем такую точку зрения, нам надо
убедиться, что множитель К удовлетворяет требованию калибровочной
инвариантности на массовой поверхности, т. е. он обращается в нуль, если
хотя бы один из векторов поляризации заменить на соответствующий ему
импульс. Легко убедиться, что это выполнено. Кроме того, К должен быть
циклически симметричен по всем четырем внешним линиям, и это свойство
тоже имеет место. Однако совершенно неожиданным выглядит тот факт, что на
самом деле К полностью симметричен по всем четырем линиям. Позднее, когда
мы будем строить амплитуды для замкнутой струны, это свойство окажется
для нас довольно существенным, поскольку кинематический фактор в них тоже
участвует. На самом деле, как мы увидим в гл. 9, К может быть представлен
как след в пространстве, порожденном модами оператора S0,
K = irM'hKiXi'ZivU
в этом выражении симметрия очевидна. При вычислении петель такое
представление возникает совершенно естественно, чего, к сожалению, нельзя
утверждать, оставаясь на уровне древесных диаграмм.
Четырехчастичную амплитуду с фермионными внешними линиями тоже можно
вычислить исходя из (7.4.35), причем слож-
) kukhkukukukukuk\ (7.4.43)
468
7. Древесные амплитуды
ность вычисления оказывается примерно такой же. Во всех вариантах получим
А(1, 2, 3, 4) = ~jg2 Гг(^-!^| К 0, 2, 3, 4), (7.4.44)
где К - подходящий кинематический фактор, задаваемый в че-
тырехвекторном случае формулой (7.4.42). Амплитуда для дерева с
фермионами на концах и бозонами посредине получается из (7.4.39) путем
усреднения по состояниям {и\\ и | щ) с использованием формул RlJ | а) = -
I Ь) и
(ul\ui) = (kt) 1 UlUi,
(", | Rtf |"4>=4 (tf)"' uiyV (7.4.45)
("1 ] Ui) = \{kt) 1 U\\ll\ktUi.
Записанный в ковариантном виде, окончательный результат выглядит
следующим образом:
К (и\> ?2. ?з> Ui) = - у • ?2Г • (k3 + ?4) Г • ?3и4 +
+ s (Ы]Г • ^"4^3 • ?2 - й]Г • ?ги4&2' ?з - й[Г • k3u4t,2 • ?з)-
(7.4.46)
В двух других случаях мы получаем, вычисляя вполне
аналогичным образом матричные элементы операторов VFVB и
VFVF,
К (щ, ?2, ы3, ?4) = ^ Ш{Т • ?2Г • (k3 + k4) Г • ?4Ыз +
+ -у SMjT • ?4Г (k2 + k3) Г • t,2u3 (7.4.47)
и
К(иь щ, и3, щ) = - у5й2Гйы3ы1Гм.ы4 + y/",P%M4lVM3 (7.4.48)
соответственно. Оба эти множителя полностью симметричны по бозонным и
антисимметричны по фермионным линиям. Для доказательства этого факта надо
использовать тождества Фирца для майорано-вейлевских спиноров в
десятиметрии. Если положить
Г1(1234) = ы1Г%ы3Г^4, (7.4.49)
Т3 (1234) = й^щй3Г^рИ4, (7.4.50)
7.4. Суперструна в суперсимметричной формулировке
469
то эти тождества, которые доказываются с помощью примерно
тех же выкладок, что и в приложении 4.А, принимают следую-
щий вид:
Т\ (1432) = - у Г, (1234) + ~Т3 (1234), (7.4.51)
Т3 (1432) = 18Г, (1234) + \т3 (1234). (7.4.52)
Таким образом, чисто бозонная симметрия (7.4.42) обобщается на весь
супермультиплет именно так, как этого и следовало ожидать.
7.4.3. Деревья для замкнутой суперструны
Древесные амплитуды для замкнутых и открытых суперструн связаны друг с
другом в точности таким же образом, как это описано для обычных струн в
разд. 7.2.1 и 7.2.2. Рассмотрим, например, вершину для трех безмассовых
открытых суперструн и обозначим ее
A°4P = gZXf3VABC(kр k2, k3), (7.4.53)
где А, В, С - суперпространственные индексы, принимающие либо спинорные,
