Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
480
7. Древесные амплитуды
как в (7.А.11), сходятся лишь при |г/,| > \yi+i\ в первом случае и при
\yi+i\ > |z/;| -во втором. Чтобы придать всей формуле точный смысл,
необходимо параллельно с перестановкой операторов сделать аналитическое
продолжение функции
{У1~У1+1) r*i+I из области г/г > г/г+i в г/г < г/г+\. При этом мы должны
решить, с какой стороны обходить особую точку при г/,- = yl+1. Мы примем,
что
в качестве обобщения (7.А.11), учитывающего и вклад нулевых мод. Здесь Я
- некий параметр инфракрасного обрезания, который сокращается во всех
действительно хорошо определенных формулах. Формулу (7.А.22) лучше всего
рассматривать как мнемоническое правило для вывода (7.А. 17) и" (7.А.12).
В этом же смысле производные (7.А.22) задают корреляционные функции для
производных Xм-. Например (обозначая точкой производную по т и имея в
виду, что д/дх - iyd/dy),
Для доказательства (7.1.49) необходима формула, несколько более общая,
чем (7.А.1), а именно
Ее нетрудно доказать с помощью тех же формул для когерентных состояний.
Поскольку все выражение, как и прежде, распадается на множители,
отвечающие отдельным осцилляторам, то достаточно ограничиться
рассмотрением одной моды. С помощью этой формулы мы можем записать
Иногда полагают
{X* (г/0 Х* (у2)) = - ifv log (г/! - г/2) Я (7.А.22)
(7. А. 23)
(7.А.24)
: еА : : ев :
= : еЛ+в
: е{ЛВ\
(7.А.24)
и аналогично при замене 1 2. Но поскольку
: V0(ku г/i) Уо(&2, У2) ¦ Vo(k2, y2)Vo(k\, У\) (7.А.26)
то
V0(ku yi)V0(k2, y2) = V0(k2, y2)V0(ku z/^e^[*.-*(</.),
(7.A.27)
Приложение 7. А
Показатель в (7.А.27) определяется так:
С (Ли У2) = [Х(Уг), Х{у2)] =
оо
= log (У1/У2) + ? 'Г [ЫУз>п - (У2/У1Л =
71=1
= log {yil у 2) - log (1 - у 2) + log (1 - yjyy) =
= log(-l) = "rt(l +2tf), (7.А.28)
где К - целое число. Чтобы явно вычислить К, расположим обе точки у 1,
г/2 в разных местах на единичной окружности, так что оба ряда будут
сходящимися. Тогда все фазы определяются, коль скоро мы фиксируем
определенную ветвь логарифма. Выбрав ветвь, для которой мнимая часть
заключена между -ш и +ш, получаем
С (уи У2) =гле (argУ\ - argу2). (7.А.29)
Если теперь обратно спроектировать точки с единичной окружности на
вещественную прямую, то мы получаем формулу (7.1.49):
V0(ku yx)V 0(k2, y2) = V 0(k2, y2)V0(ki, y\) exp [niki ¦ k2s (yx - y2)].
(7.A.30)
Библиография
Ниже мы, следуя порядку изложения, глава за главой, кратко опишем историю
теории струн, ее важнейшие идеи и открытия. Мы будем ссылаться лишь на
некоторые основные работы; затем приводятся более полные списки
литературы по соответствующим темам. Мы заранее приносим наши извинения
за возможные ошибки и упущения. Особенно кратким будет обсуждение вводной
главы, чтобы дублирование последующих глав была минимальным.
Глава 1
Истоки теории струн лежат в исследованиях сильных взаимодействий, и она
выросла из теорий будстрапа и полюсов Редже. Важным предварительным
этапом была идея о насыщении правил сумм для алгебры токов узкими
резонансами, которая привела к "правилам сумм для конечных энергий" [300,
264, 265] и концепции дуальности, введенной Доленом, Хорном и Шмидом
(Dolen, Horn and Schmid) [127, 128], в развитие которой среди других
внесли существенный вклад Фройнд (Freund) [168], Харари (Harari) [249] и
Рознер (Rosner) [380]. Эта работа привела к открытию амплитуды Венециано
(Veneziano) [453], которая, вероятно, и представляет собой начало теории
струн. За этим быстро последовали разработки многочисленных обобщений
амплитуды Венециано [31, 457, 214, 80], которым особенно элегантный вид
придали Коба и Нилсен (Koba and Nielsen) [290, 291]. Другое семейство
амплитуд (позднее было осознано, что они соответствуют замкнутым струнам)
было изобретено Вирасоро (Virasoro) [456] (для случая четырех частиц) и
обобщено Шапиро (Shapiro) [418] на случай N частиц. Цервое указание на
то, что амплитуда Венециано обладает особыми свойствами, если размерность
пространства-времени равна 26, возникло при исследовании петлевых
диаграмм в работе Лавлейса (Lovelace) [303].
Библиография
483
Понимание того факта, что эти дуально-резонансные амплитуды описывают
динамику релятивистской струны, впервые появилось в независимых работах
Намбу (Nambu) [341], Нилсена (Nielsen) [357] и Саскинда (Susskind) [432].
Формула для струнного действия как площади мировой поверхности была
введена Намбу (Nambu) [342], Гото (Goto) [217] и Хара (Нага) [247].
Важнейшим шагом в прояснении струнной картины было использование для
квантования этого действия калибровки светового конуса в работе Годдарда,
Голдстоуна, Ребби и Торна (Goddard, Goldstone, Rebbi and Thorn) [206].
Последовавшее за открытием Рамоном (Ramond) [372] свободного волнового
уравнения для фермионной струны открытие Невё и Шварцем (Neveu and
Schwarz) [351] ее бозонного партнера привело к струнной теории
взаимодействия бозонов и фермионов (модель RNS с критической размерностью
D = 10). В дальнейшем Глиоцци, Шерком и Оливом (Gliozzi, Scherk and
