Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
поля. Скажем, для безмассового скалярного поля в "-мерном пространстве-
времени стандартный пропагатор между простран-ственно-временными точками
х и у равен <г/|П-1|л:>. Здесь П - даламбертиан, или волновой оператор:
П = (д2/дх^дх'*).
Пропагатор, обратный к волновому оператору, может быть
1.4. Взаимодействия струн
41
представлен следующим образом:
оо
(г/1 П~'\х) = jj dx(y\e~xa\x). (1.4.1)
о
Гамильтониан нерелятивистской частицы массы m и п-\- 1-мерном
пространстве-времени равен p2/2m - П/2т; для т= 1/2 он просто равен ?.
Таким образом, оператор е~хи в правой
С D
Рис. 1.5. Типичная фейнмановская диаграмма в квантовой теории поля.
Четыре внешние частицы, появляющиеся в пространственно-временных точках
А, В, С и D, участвуют в процессе рассеяния на уровне древесных диаграмм,
взаимодействия происходят в точках р и q.
части (1.4.1) не что иное, как оператор, описывающий распространение
нерелятивистской частицы в мнимом времени т; в этом случае имеет место
известная формула с континуальным интегралом:
оо у ( % Л
(у I П-11 х) - ^ dx^Dx (t) exp | - -j- ^ dt х2 I. (1.4.2)
Ox I 0 j
В этой формуле показатель экспоненты является как раз дей-
и
ствием классической точечной частицы, а символ ^Dx(t) озна-
X
чает интеграл по всевозможным путям x(t), начинающимся в точке х в момент
/ = 0 и оканчивающимся в точке у в момент t~x. Правую часть (1.4.2)
интуитивно понять довольно просто. Мы интегрируем по произвольному
положительному соб-
42
1. Введение
ственному времени % частицы, распространяющейся из точки х в точку у, и
по всем траекториям x{t), по которым проходит частица в собственном
времени % из точки л: в точку у.
Посмотрим теперь на типичную фейнмановскую диаграмму,, изображенную на
рис. 1.5. Вместо того чтобы вычислить эту диаграмму как обычно, в
импульсном пространстве, давайте рассматривать ее в координатном
пространстве, так что внешние частицы появляются в пространственно-
временных точках А, В. С и Д а взаимодействия происходят в точках р и q.
В соответствии с обычными правилами вычисления амплитуды из фейнмановской
диаграммы каждая линия на рис. 1.5 соответствует пропагатору. Используя
представление (1.4.2) для про-пагатора, можно сказать, что каждая линия
соответствует интегрированию по траектории частицы, распространяющейся в
пространстве-времени между указанными точками. При вычислении выражения,
соответствующего диаграмме, необходимо также интегрировать по координатам
точек р и q и учесть определенные множители в вершинах, которые зависят
от конкретной рассматриваемой теории. Основным моментом во всем этом
является то, что фейнмановская диаграмма может рассматриваться как
отражение подлинной истории частиц, распространяющихся в пространстве-
времени и сливающихся и расщепляющихся в вершинах взаимодействия.
1.4.1. Расщепление струн
Попробуем сформулировать теперь аналог этого в струнной теории. Точно так
же, как точечная частица может расщепиться на две частицы (см. рис. 1.6,
а), струна может расщепиться на две струны; для замкнутой струны это
изображено на рис. 1.6, Ь. Существенное различие заключается в том, что
когда точечная частица расщепляется на две, имеется хорошо определенное
лоренц-инвариантное понятие пространственно-временной точки, в которой
это расщепление произошло. Такой точкой просто является вершина
взаимодействия в фейнмановской диаграмме. Однако в случае расщепления
струны на две нет хорошо определенного понятия, устанавливающего, когда и
где это расщепление происходит. На рис. .1.6, & мы схематически
изобразили поверхности постоянного времени в двух различных лоренцев-ских
системах отсчета 1 и 2. В системе 1 расщепление произошло в точке,
отмеченной черным кружочком. По отношению к этой точке в прошлом была
только одна струна, а в будущем их уже две. В системе 2 точка, отмеченная
черным кружочком* ничем особенным не выделяется. В этой системе точка,
отмеченная белым кружочком, является точкой, где произошло
взаимодействие.
1.4. Взаимодействия струн
43
Это различие имеет много последствий. Прежде всего, частично по этой
причине существует большое количество квантовых теорий поля точечных
частиц и лишь несколько струнных теорий. Так как диаграмма, изображенная
на рис. 1.6, а, обладает лоренц-инвариантной вершиной взаимодействия, мы
можем
Рис. 1.6. Вершины взаимодействия в теории поля и в теории струн: на рис.
а точечная частица расщепляется на две; на рис. Ь замкнутая струна
расщепляется на две. На рис. Ь поверхности постоянного времени в двух
различных лоренцевых системах отсчета 1 и 2 изображены сплошной и
штриховой линиями соответственно.
приписать ей некоторый специальный множитель при определении
фейнмановской амплитуды. Выбор этих множителей соответствует выбору той
квантовой теории поля, которую предстоит изучить. С другой стороны, на
рис. 1.6,6 любая часть диаграммы локально выглядит как распространение
свободной струны; и если мы однажды сформулировали правила
