Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Грин М. -> "Теория суперструн. Том 1" -> 15

Теория суперструн. Том 1 - Грин М.

Грин М., Шварц Дж., Виттен Э. Теория суперструн. Том 1 — М.: Мир, 1990. — 518 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyasuperstrunt11990.pdf
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 212 >> Следующая

Гото, оно просто было пропорционально площади ее мировой поверхности.
Одна из математических формул для площади поверхности струны, помещенной
в пространство Минковского, имеет следующий вид'):
S = T ^ da dx Vi2!'2 - (X ¦ X'f, (1.3.6)
где
= dX* (g, т) _ дХ* (a, T) (13 7)
dr ' da \ /
Если в качестве действия струны взять площадь ее мировой поверхности, то
решения классических уравнений свободной струны соответствуют мировой
поверхности минимальной (или по крайней мере экстремальной) площади. Это
является обобщением того факта, что орбитами точечной частицы являются
геодезические, или кривые минимальной длины. С действием
(1.3.6) работать очень неудобно из-за его сильной нелинейности,
особенно из-за квадратного корня. Можно записать эквивалентное, но
намного более удобное выражение, если (как и в случае точечной частицы)
ввести кроме -Х^(сг, т) еще новую переменную Лар, которая будет
метрическим тензором мировой поверхности струны. Более удобной формой
является
S=-^-^d2o ha*^dXdbX\ (1.3.8)
Здесь -y/h - квадратный корень из абсолютного значения определителя
матрицы /гац, а матрица ЛаР является обратной к матрице haр. Так как в
(1.3.8) производные матрицы Лар не входят,
') Т является коэффициентом пропорциональности, необходимым для того,
чтобы сделать действие безразмерным. Если взять постоянную Планка и
скорость света равными единице (А = с = 1), то Т будет иметь размерность
(длина)-2. В гл. 2 мы покажем, что в действительности Т является
натяжением струны, связанным с параметром наклона реджевской траектории
для открытой струны следующим образом: 2яа'Т = 1. Часто для упрощения
обозначений удобно выбирать специальные единицы, в которых Т = = 1/я.
Всегда можно легко восстановить общее выражение для Т, исходя из простых
соображений размерности.
1.3. Теория струн
35
то ее уравнение движения является связью и, как в дальнейшем будет
показано в гл. 2, величину h при желании можно исключить или по ней можно
проинтегрировать, что вновь приводит к (1.3.6).
В классической теории действие (1.3.8) описывает распространение струны в
пространстве Минковского любой размерности, но в квантовой механике
наиболее интересным оказывается случай, когда размерность пространства
равна 26.
Действия (1.3.6) и (1.3.8) инвариантны относительно общекоординатных
преобразований мировой поверхности струны т, <т-"-т/(т, <т), o' (т, о).
(В случае действия (1.3.8) метрика мировой поверхности должна меняться
при таких преобразованиях в соответствии со стандартными законами
преобразования метрического тензора.) С точки зрения одномерного муравья,
живущего на струне, действия (1.3.6) и (1.3.8) описывают обще-
ковариантную теорию поля в 1 + 1 измерениях. В эту 1 + 1-мерную теорию
поля компоненты ^ входят как скалярные поля, они преобразуются как
компоненты вектора при 26-мерных преобразованиях из группы Пуанкаре и как
скаляры при репараметризациях мировой поверхности. Фактически (1.3.8)
является стандартным действием, описывающим взаимодействия безмас-совых
скалярнщх полей X" с (1 + 1)-мерной гравитацией. Двумерные действия
(1.3.6) и (1.3.8) и их суперсимметричные обобщения описывают единственные
общековариантные теории поля, имеющие, как известно, смысл в
пространстве-времени любого числа измерений. Может возникнуть желание
добавить к (1.3.6) (1 + 1)-мерный эйнштейновский член л/h R, где R - (1 +
1)-мерный скаляр кривизны; для наших целей в настоящий момент этот член
несуществен, так как д/h R является полной дивергенцией (точнее,
топологическим инвариантом) в
1 + 1 измерениях. В дальнейшем добавление этого члена окажется
полезным.
1.3.3. Уравнения связей
Инвариантность относительно репараметризации мировой поверхности
существенна для решения уравнений минимальной поверхности, выведенных из
действия (1.3.8). Симметричный
2 X 2-тензор /lap имеет три независимые компоненты. В двуме-рии
общековариантное преобразование о, х-^о',х' зависит от двух произвольных
функций, а именно новых координат а' и
С помощью этого преобразования любые две из трех независимых компонент h
можно обратить в нуль. Стандартной и удобной параметризацией мировой
поверхности является такая параметризация, при которой /lap = 'Паре4',
ГДе Т]ар - МвТрИКЭ ПЛО-
36
1. Введение
ской мировой поверхности, а еч>- неизвестный конформный множитель. Такой
выбор всегда можно осуществить по крайней мере локально. Мы будем
называть его конформной калибровкой.
Теперь мы сталкиваемся с приятной неожиданностью. В конформной калибровке
конформный множитель еч> выпадает из формулы (1.3.8) по той причине, что
в двумерии величина л/ h пропорциональна е'Р, а тензор А"Р пропорционален
е-ч>. Следовательно, в конформной калибровке действие (1.3.8) сводится к
простому действию свободного поля
5 = - ~ J -3-9)
Уравнение движения, выведенное из действия (1.3.9), является простым
линейным волновым уравнением
= О-3-10"
Однако, так же как и в случае точечной частицы, волновое уравнение,
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 212 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed