Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
распространения свободной струны, то никакого дополнительного выбора не
остается. Нам все еще необходимо понять, почему для свободной струны
имеется так мало возможностей; это следует из трудностей, возникающих при
попытках проквантовать систему, описываемую действием (1.3.8) и его
различными обобщениями. Но как только свободная теория сформулирована,
вид взаимодействия уже однозначно определен по той простой причине, что
на рис. 1.6,6 нет точки, соответствующей лоренц-инвариантному
взаимодействию.
С этим тесно связано эвристическое объяснение того факта, что струнные
теории свободны от ультрафиолетовых расходимостей, которыми страдают
квантовые теории поля точечных час-
44
1. Введение
тиц. На рис. 1.7 мы изобразили однопетлевую фейнмановскую диаграмму,
которая в квантовой теории гравитации расходилась бы в ультрафиолетовой
области, и соответствующую диаграмму замкнутой струны. Струнная диаграмма
на рис. 1.7, & отличается от квантовополевой диаграммы на рис. 1.7, а
тем, что каждая мировая линия или пропагатор точечной частицы заменены на
мировую трубку распространяющейся замкнутой струны. Вклад от обеих
диаграмм вычисляется интегрированием
О) 6)
Рис. 1.7. Здесь схематически изображены: (а) однопетлевая фейпмановская
диаграмма (точки взаимодействия обозначены через р, ц, г и s) и (Ь)
соответствующая струнная диаграмма для замкнутых струн.
по пространственно-временным траекториям распространяющихся точек или
струн. До тех пор пока струны, составляющие диаграмму, изображенную на
рис. 1.7,6, имеют очень маленький радиус, эту диаграмму можно свести
приблизительно к диаграмме на рис. 1.7,а, демонстрируя тем самым
возникновение полевой теории в виде длинноволнового предела струнной
теории.
Почему в выражении, соответствующем диаграмме на рис. 1.7, а, имеются
ультрафиолетовые расходимости, а в выражении, соответствующем диаграмме
на рис. 1.7,6, их нет? Основное различие заключается в том, что диаграмма
на рис. 1.7,а содержит хорошо определенные вершины взаимодействия, обо
значенные буквами р, q, г и s. Ультрафиолетовые расходимости возникают по
той причине, что при р = q = г = s пропага-торы, соединяющие эти вершины,
одновременно пропадают. На струнной диаграмме, изображенной на рис.
1.7,6, нет хорошо определенных аналогов вершин взаимодействия р, q, г и s
квантовополевой диаграммы. Соответственно нет и аналога опасной
1.4. Взаимодействия струн
45
области р = q - г = s. Хотя этот факт несомненно не доказывает конечность
диаграммы на рис. 1.7,6, которая может быть установлена только прямым
вычислением при наличии необходимой для этого процедуры, он служит
хорошим указанием на это.
Другим основным различием между квантовополевыми и струнными диаграммами
является то, что струнных диаграмм
Рис. 1.8. Здесь мы схематически изобразили все диаграммы замкнутой
струны, которые дают вклад в четырехчастичную амплитуду; в каждом порядке
теории возмущений имеется одна и только одна диаграмма.
намного меньше. Каждой квантовополевой диаграмме сопоставляется диаграмма
струнной теории, полученная превращением мировых линий в мировые трубки.
Для замкнутых струн это изображено на рис. 1.9. Но при таком
сопоставлении может оказаться, что несколько различных фейнмановских
диаграмм приводят к одной и той же струнной диаграмме, как видно из этого
рисунка. В теории ориентированных замкнутых струн на самом деле имеется
одна и только одна фейнмановская диаграмма в любом рассматриваемом
порядке теории возмущений, как это показано на рис. 1.8. Это
соответствует тому факту, что двумерные ориентированные многообразия
полностью специфицируются заданием числа ручек (или петель) и дырок (или
внешних частиц). Классификация струнных диаграмм в теориях открытых или
замкнутых неориентированных струн сложнее, но по-прежнему в этих теориях
струнных диаграмм намного меньше, чем фейнмановских. Причина того, что
струнная теория с небольшим числом диаграмм может воспроизвести при
низких
46
1. Введение
энергиях полевую теорию с многими фейнмановскими диаграммами, состоит в
том, что в различных пределах интегрирования по параметрам,
характеризующим размеры и форму мировой поверхности струны, одна и та же
струнная диаграмма может
ь)
Рис. 1.9. Несколько различных теоретикополевых диаграмм могут стать
изоморфными, превратившись в струнные диаграммы. На рис. а изображены
различные фейнмановские диаграммы, которые в теории поля представляют
собой однопетлевые поправки к четырехчастичной амплитуде, на рис. b
изображены соответствующие диаграммы замкнутой струны. Все диаграммы
замкнутой струны на рис. b имеют одну и ту же топологию, так что они
представляют различные области интегрирования в выражении,
соответствующем одной и той же струнной диаграмме.
приблизительно воспроизвести большое количество фейнмановских диаграмм.
Например, однопетлевая диаграмма на рис. 1.8 сводится в различных
пределах к диаграммам, изображенным на рис. 1.9.
