Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
выведенное из действия с фиксированной калибровкой (1.3.9), нужно
дополнить определенными уравнениями связей. Уравнениями связей,
возникающими в данном случае, являются уравнения 8S/8ha$=0. В (1 + 1)-
мерной квантовой теории поля тензор энергии-импульса обычно определяется
как')
T^=~W^' (UU1)
так что уравнения связей - это просто равенства 7'ар=0. Тензор энергии-
импульса выглядит наиболее просто в терминах координат светового конуса
для мировой поверхности = = (т±а). В этих координатах Т++ = д+Х^д+Х^, Т-
получается из Т++ заменой -, а 7+- = 0. Здесь Г+- - это след двумерного
тензора энергии-импульса, и тот факт, что он равен нулю, т. е., другими
словами, что теория безмассового скалярного поля с действием (1.3.9)
конформно инвариантна в
1 + 1-мерии, имеет далеко идущие последствия.
В классической теории уравнения связей довольно просты,
и, как мы увидим в гл. 2, общие решения волновых уравнений и уравнений
связей можно найти без каких-либо затруднений. В квантовой механике все
намного сложнее. Последовательное квантомеханическое рассмотрение
конформной калибровки
') Здесь Л = - det Лар. Множитель 2я в (1.3.11) в теории поля
отсутствует, н* в теории струн он стал стандартным.
1.3. Теория струн
37
требует введения духов. На это усложнение мы постараемся закрыть глаза в
настоящей вводной главе. Если пренебречь связями, то проквантовать
свободную теорию, описываемую лагранжианом (1.3.9), разумеется, не
составляет труда. Но учесть связи намного сложнее. Уравнения связей
означают, что физическое состояние |ф> должно удовлетворять условию
7'<Х|з|ф>=0. Чтобы понять значение этого уравнения, необходимо вычислить
коммутационные соотношения для Та$ при равных т. Они оказываются
следующими:
[Т+ + (а), Т+ + (a')} = i(T++ (а) + ТТ+ + (0')) б' (а - а') +
+ -^-(26-D)6">-a'); (1.3.12)
для Т- уравнение аналогично, а [Т++,Т______] = 0. Здесь D -
число пространственно-временных координат (число компонент -Х^).
Первое слагаемое в правой части (1.3.12) возникло бы и в классической
теории при вычислении скобок Пуассона: второе слагаемое, пропорциональное
(26 - D)6"'(o - а'), появляется в квантовомеханических вычислениях из-за
аномалии. Как мы увидим в гл. 3, для вычисления коэффициента, вошедшего в
(1.3.12), необходимо последовательным образом включить в рассмотрение
духи1). Из (1.3.12) непосредственно следует, что уравнения связей могут
иметь смысл только в 26 измерениях. Физическое состояние |ф>,
удовлетворяющее условию Г++|ф> = = 0, автоматически обратится в нуль,
если на него подействовать оператором в левой части (1.3.12) и первым
слагаемым в правой части. Поэтому он должен также зануляться действием
второго слагаемого в правой части (1.3.12). Но второе слагаемое в
(1.3.12), являясь с-числом (26 - D)6"'(8 - а'), ничего не может занулить,
если только D не равно 26; это - единственный случай, когда имеются
физические состояния. Именно по этой причине только в 26-мерии имеют
смысл модель Венециано для открытых струн и соответствующая модель Шапиро
- Ви-расоро для замкнутых струн.
Кроме локальной репараметризационной инвариантности мировой поверхности
струны, эта теория также обладает инвариантностью относительно глобальных
(независящих от а, т) преобразований -> Av^v + (где А - постоянная
ортогональная матрица, а b - постоянный вектор). Для муравья, живущего на
струне, эти преобразования являются просто преобра-
*) В формализме без духов ограничение, связанное с тем, что размерность
равна 26, возникает не так, как здесь, а по-другому. Это объясняется в
гл. 2.
38
1. Введение
зованиями внутренних симметрий 26 свободных, безмассовых квантовых полей,
распространяющихся на струне, но для наблюдателя в пространстве-времени
они - преобразования из группы Пуанкаре. Так как теория пуанкаре-
инвариантна, гильбертово пространство состояний является пространством
унитарного представления группы Пуанкаре. Это означает, что состояния
частиц будут помечаться значениями их массы И спина. Так как мы имеем
дело со струной, которая может свободно осциллировать и имеет бесконечное
число гармоник, как и любая другая струна, то у нас будет появляться
бесконечное число состояний частиц.
Для бозонной струны, которую мы уже обсуждали, основным состоянием
является, к сожалению, тахион с квадратом массы (в случае замкнутых
струн) т2 = -8 (в единицах, где 7'== 1/л). Это является, как станет ясно
из систематического рассмотрения в гл. 2, результатом тщательного учета
уравнений связи. Первый возбужденный уровень более привлекателен, он
соответствует безмассовым частицам. Точнее, обнаруживаемые безмассовые
частицы - это частицы со спином два, которые можно постараться связать с
гравитационным полем g^v, со скалярной частицей, известной как "д ил а
тон", и с дополнительным состоянием, которое преобразуется как
антисимметричный тензор ранга 2 группы 50(24). (Эта группа появляется в
связи с тем, что она является малой группой безмассовой частицы в 26-
