Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
математических задач является простота процесса отражения
соответствующего типа волн от дополнительной границы.
Однако отражение упругих волн от границы представляет собой довольно
сложный процесс. Как следствие этого задача об отыскании нормальных
колебаний ограниченных упругих тел становится очень сложной. Именно
поэтому до настоящего времени нет ни одного полного решения такой задачи.
В данной главе рассматривается простейшая задача указанного класса -
задача о колебаниях прямоугольной призмы (плоская деформация) или тонкой
прямоугольной пластины (плоское напряженное состояние). В процессе
изложения будем говорить о прямо-
157
угольнике во всех случаях, когда речь идет о соотношениях, общих для этих
двух типов деформации. Исходным для построения решений является знание
явного вида и свойств нормальных мод бесконечного слоя, изученных в
предыдущей главе.
§ 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ О КОЛЕБАНИЯХ ПРЯМОУГОЛЬНИКА. МЕТОД РЕШЕНИЯ
Рассматриваются установившиеся волновые движения в упругом теле в виде
бесконечной в направлении оси 0ух прямоугольной призмы (рис. 60). При их
изучении в одинаковой мере интересно как рассмотрение собственных частот
и форм, так и анализ вынужденных колебаний при определенных типах
нагрузки. Хотя наличие решения задачи в одной из указанных постановок
дает возможность легко получить решение в другой постановке, задача о
вынужденных колебаниях представляется несколько более общей. При ее
решении величины собственных частот определяются как значения, при
которых не существует конечного решения задачи о вынужденных движениях.
Характеристики форм колебаний определяются при анализе волнового поля на
частоте, близкой к соответствующей собственной. При этом, поскольку
собственные частоты находятся приближенно, сравнение степени динамичности
на разных частотах дает оценку степени близости частот к резонансным.
Поэтому здесь и далее мы будем рассматривать задачи о вынужденных
колебаниях конечных упругих тел.
Применительно к рассматриваемому телу речь идет о решении двухмерных
уравнений движения (1.4) гл. 1 при следующих силовых граничных условиях:
оq = /± (2j), об? ^хг = (Zl)> Х^ - dzCl,
1 1 (11)
20 (r)г~?± (^l)i 2G ^гх ~ - dz h.
В рамках развиваемых ниже аналитических методов возможно также
рассмотрение задач о кинематическом возбуждении колебаний. В частности,
разрешимы такие задачи, когда вместо силовых условий на границах хг = ± а
заданы кинематические
"7Г = /± ~Т~ = Ф* (Zl>' = ± а ^
или "смешанные"
= (*i), -§g- т" = Ф± to), *i = ± a (13)
Как показано ниже, последняя граничная задача существенно проще двух
предыдущих. Задачи со смешанными условиями на частях одноименных сторон
связаны с преодолением дополнительных трудностей и здесь не
рассматриваются.
158
В последующих выкладках общий для всех характеристик волновых полей
множитель exp (-iat) опускается.
В настоящее время сформировались [два аналитических подхода к построению
точных решений указанных задач - метод однородных решений и метод
суперпозиции. Оба этих метода существенно опираются на использование
свойств нормальных мод в бесконечном слое.
В методе однородных решений более полно используется информация о
волновых движениях в нормальных модах. В рамках этого метода общее
решение задачи (1.1) при нулевых значениях функций g± (xi) и (*i)
строится в виде бесконечной суммы волн в слое | 2Х| ^ he вещественными,
мнимыми и комплексными постоянными распространения. При этом,
естественно, принимаются во внимание волны, распространяющиеся в обоих
направлениях. Нераспростра-няющиеся волны выбираются так, чтобы
соответствующие характеристики напряженно-деформированного состояния
убывали от поверхностей хх = ± а В таком решении содержится бесконечный
набор произвольных комплексных коэффициентов, подбором которых можно
выполнить граничные условия на поверхностях хг = = ± а. Предположение о
равенстве нулю функций g± (хх) и %± (xt), конечно, не является
существенным ограничением.
Практическая реализация такого подхода усложнена необходимостью искать
разложение функций /± (zx) и ф± (zx) по неортогональной системе частных
решений. Если обратиться к истории вопроса, то в связи с этой задачей
можно проследить довольно типичную ситуацию во взаимоотношении математики
и физики. Рассуждения в рамках физических аналогий (струна, мембрана,
стержень) служили достаточно убедительным основанием для надежд на
разрешимость задачи о таком представлении. Однако математического
обоснования ее разрешимости до последнего времени не существовало.
Возникающие здесь математические вопросы послужили стимулом к развитию
некоторых новых по сравнению с классической проблемой Штурма - Лиувилля
направлений в теории краевых задач и дифференциальных уравнений. Их
характерные аспекты отражены, например, в обзоре Воровича [25]. Все же
отметим, что, несмотря на большое число исследований, ряд практически
важных вопросов данной проблемы остается не выясненным. В частности, еще
