Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
изотропном теле представляется довольно необычным. Именно при
рассмотрении групповой скорости в упругом слое это явление было впервые
установлено в работе [280]. На рис. 44, а для групповой скорости второй
моды данное свойство характеризуется наличием участка кривой в области с&
< 0.
Возможность такого явления достаточно ясно можно предсказать из анализа
самого спектра, представленного на рис. 39, и изучения знака кривизны
ветвей в окрестности частот запирания. Однако первое четкое упоминание о
нем содержится лишь в указанной выше работе. Обнаруженное явление было
названо "обратной" волной и стало предметом многочисленных обсуждений.
Появление в спектре нормальных мод волновода волны с такими свойствами не
является указанием на ограниченные возможности модели идеально упругого
тела. Конечно, это означает не то, что энергия течет к источнику, а
только то, что групповая и фазовая скорости имеют разные знаки. Для
каждой точки дисперсионной кривой на плоскости (g, Q) существует
"двойник" на плоскости (- |, Q). Если выдвинуть требование выделить и
рассмотреть лишь те нормальные волны, которые переносят энергию вправо,
то такой отбор произвести довольно просто. При этом, конечно, остается
определенная необычность в поведении нормальной волны на некотором
участке изменения частоты. В таком частотном интервале волна, перенося
энергию, например, вправо, имеет систему возвышенностей и впадин,
движущихся влево. Иными словами, при некоторых оптимальных условиях
возбуждения и приема волн в слое можно наблюдать довольно медленный
волновой пакет (cg мало), в котором гребни и впадины (области сжатие -
разрежение) волн движутся с достаточно высокой скоростью (ср велико) в
противоположном направлении (к источнику). Однако ситуация, когда фазовая
и групповая скорости имеют разные знаки, не так уж необычна. В работах
Мандельштама [86, 88] содержится несколько вполне реальных примеров,
которые делают эту ситуацию в одинаковой мере наглядной и понятной.
При рассмотрении явления обратной волны важно отметить следующее.
Рассматривая вторую ветвь для симметричного случая (рис. 46), видим, что
точка, разделяющая эту ветвь на участки с одинаковыми и противоположными
знаками групповой и фазовой скоростей, является точкой входа на
вещественную плоскость f двух комплексных участков. Эти участки берут
начало в наименьшем по модулю комплексном корне дисперсионного уравнения
при ?2 = 0. Такие точки мы отмечали как точки пересечения ветвей
различных семейств, а описанное выше явление обратной волны
свидетельствует об актуальности вопроса о правильном продолжении ветвей
после таких пересечений. Данный вопрос тщательно рассмотрен в работах
[103, 236], что дало возможность построить четкую н детальную картину
спектра с учетом требования одно-
141
значного выделения ветви. Если исходить из требования убывания
(возрастания) смещений с ростом х в модах для комплексных корней и
постоянства знака групповой скорости, то для двух низших ветвей
симметричного случая трехмерная картина спектра представлена Миндлиным
[236]. Эта картина воспроизведена на рис. 46, где сплошными линиями
отмечены первая (Lj),
вторая (L2) и третья (L3) ветви
нормальных мод, которые имеют положительные групповые скорости.
Правильный, в соответствии с указанным способом разделения, выбор ветвей
важен при анализе неустановившихся движений в волноводе [248] и при
рассмотрении вынужденных движений в нем [7, 8].
Результат, полученный при теоретическом анализе свойств
дисперсионных соотношений и связанный с наличием нормальных
волн с противоположными знаками групповой и фазовой скоростей, оказался
довольно необычным в теории волноводного распространения, содержание
и основные понятия которой формировались
на базе изучения относительно простых ситуаций в акустике и
электродинамике. В связи с этим проведены эксперименты [16, 228], целью
которых была проверка возможности возбуждения такого типа волн.
Эксперименты проводились для цилиндров и призм из различных материалов,
возбуждаемых с торца пьезоэлектрическими преобразователями. Подводимый
сигнал представлял собой узкополосный гауссов импульс с различными
несущими частотами. Вследствие дисперсии первоначальный импульс искажался
и на выходе наблюдались импульсы, соответствующие нормальным
распространяющимся модам, возможным при данной частоте. По времени
задержки приходящих импульсов вычислялась групповая скорость
соответствующих мод. О степени согласования теоретических и
экспериментальных данных можно судить по рис. 47, взятому из работы
[228]. На нем приведены вычисленные (сплошные линии) и замеренные (точки)
данные о групповой скорости для пластины из плавленого кварца 20,32 X
1,77 х 0,0381 см. При расчетах принималось сг = 3,8 х 103 м/с, v = 0,17.
Степень согласования теоретических и экспериментальных данных очень
высокая. Кроме того, приведенные в работе [228] осциллограммы наглядно
свидетельствуют о возможности эффективного возбуждения "обратных" волн.
